LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Tập hợp, phần tử của tập hợp Cách tìm ước và bội của số nguyên (ước chung và bội chung) Số hoàn hảo là gì? Nó có phải là số hoàn thiện? Số chính phương Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn (ax + b = 0) Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = 0 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c = 0 Bảng cửu chương cộng trừ nhân chia và các mẹo ghi nhớ Cách tính giá trị tuyệt đối của một số (số thực, số hưu tỉ) Bảng đổi đơn vị đo độ dài và cách quy đổi cực chính xác 1dm bằng bao nhiêu cm 1 ha bằng bao nhiêu m2? Quy đổi ha sang km2, sào, mẫu, công đất Tiệm cận ngang Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Công thức đạo hàm Tính bằng cách thuận tiện nhất Cách tính phần trăm đơn giản áp dụng cho mọi bài toán tính tỉ lệ Số hữu tỉ là gì? Số thực là gì? Cách biểu diễn trục số thực trong toán học Danh sách 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Ghi lại kẻo quên) Cách tìm tập xác định hàm số mũ Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Kiến thức 3 đường conic (Elip, Hypebol, Parabol) và các dạng bài tập Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận Tổng hợp công thức lượng giác Tích vô hướng, tích có hướng Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập Cách Rút gọn biểu thức Đề thi Toán lớp 4 học kì 2 Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập Đề thi toán lớp 2 học kì 2 Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng Bảng nguyên tử khối hóa học chuẩn và đầy đủ nhất Tập hợp Số tự nhiên Hệ thập phân Tập hợp con Dấu hiệu chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3
CÁC CHỦ ĐỀ
BÀI MỚI NHẤT
MỚI CẬP NHẬT

Kiến thức 3 đường conic (Elip, Hypebol, Parabol) và các dạng bài tập

3 đường conic bao gồm đường elip, đường hypebol và đường parabol, mỗi đường sẽ có một phương trình chính tắc riêng và được ứng dụng nhiều trong đời sống.

test php

banquyen png
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.

Đường conic là một đường cong bậc hai được tạo thành bằng cách cắt một mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng. Có 3 đường conic cơ bản là đường elip, hypebol và parabol, hãy cùng freetuts tìm hiểu về 3 đường này ngay bên dưới đây nha.

Kiến thức 3 đường Conic - Đường elip

Khái niệm đường Elip trong toán học

3 duong conic 1 jpg

Hình ảnh đường Elip.

Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách F1F2 = 2a, với a > 0.

Đường elip (elip) là tập hợp các điểm N trong mặt phẳng sao cho NF1 + NF2 = 2b, trong đó b là số cho trước lớn hơn a. Và hai điểm F1, F2 được gọi là 2 tiêu điểm của elip này.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

Phương trình chính tắc của đường Elip

3 duong conic 2 jpg

Phương trình chính tắc của E.

Trong mặt phẳng bất kỳ, xét đường elip (E) bao gồm tập hợp các điểm N sao cho NF1 + NF2 = 2a, F1F2 = 2b ( với a > b > 0).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc đi qua trung điểm F1F2, Oy là đường trung trực của F1F2, F2 nằm trên tia Ox, hai tiêu điểm của elip lần lượt là F1(-a ; 0) và F2(a ; 0).

Lúc này, ta sẽ có phương trình chính tắc của E như sau:

x2/a2 + y2/b2 = 1, với a > b > 0, c2 = a2 + b2, 2c = F1F2

Ví dụ minh họa:

  1. Phương trình x2/52 + y2/72 = 1 có phải là phương trình chính tắc của elip không?

  2. Cho E có tiêu điểm F1(-2,0) đi qua điểm A (0,1), hãy lập phương trình chính tắc của Elip này.

Lời giải:

  1. Theo định nghĩa đường chính tắc, ta có a > b > 0, tuy nhiên trong phương trình x2/52 + y2/72 = 1 , ta có b = 3, a = 7 mà 3 < 7 hay b < a.

Suy ra, phương trình x2/52 + y2/72 = 1 không phải là phương trình chính tắc của Elip.

  1. Phương trình chính tắc của elip bất kỳ là x2/a2 + y2/b2 = 1, với a > b > 0

Ta có, F1(-2,0) là một tiêu điểm của E nên c = 2.

Điểm A(0,2) ∈ (E) nên ta có phương trình 02/a2 + 22/b2 = 1 ⇔ 22/b2 = 1 ⇔ 22 = b2 = 4

Với a2 = b2 + c2 = 4 + 22 = 8

Vậy phương trình chính tắc cần tìm là: x2/82 + y2/42 = 1

Kiến thức 3 đường Conic - Đường hypebol

3 duong conic 3 jpg

Hình Hypebol.

Khái niệm đường Hypebol

Cho hai điểm F1 và F2 cố định có khoảng cách F1F2 = 2c, với c > 0, đường Hypebol là tập hợp của các điểm M cùng nằm trên một mặt phẳng sao cho MF1 - MF2 = 2a, a là số nguyên dương cho trước, nhỏ hơn c, lúc này hai điểm F1 và F2 là hai tiêu điểm của đường Hypebol này.

Phương trình chính tắc của đường Hypebol

3 duong conic 4 jpg

Hình ảnh minh họa về đường Hypebol.

Cho hệ trục tọa độ như hình trên, trục tung Ox đi qua 2 tiêu điểm F1 và F2 , trục hoành đi qua trung điểm của đoạn thẳng F1F2 = 2c, với c > 0, gốc O là trung điểm F1F2

Lúc này, ta sẽ có phương trình chính tắc của hypebol có dạng là

x2/a2 - y2/b2 = 1, với a > 0, b > 0, c2 = a2 + b2, 2c = F1F2.

Ví dụ minh họa:

Cho phương trình x2/42 - y2/62 = 1 có phải là phương trình chính tắc của hypebol không?

Lời giải:

Theo định nghĩa, phương trình chinh tắc của hypebol có dạng x2/a2 - y2/b2 = 1, với a > 0, b > 0

Xét phương trình x2/42 - y2/62 = 1, ta có a = 4, b = 6, a = 4 > 0 và 6 > 0

⟹ x2/42 - y2/62 = 1 là phương trình chính tắc của hypebol.

Kiến thức 3 đường Conic - Đường parabol

Khái niệm đường Parabol

3 duong conic 5 jpg

Hình ảnh minh họa về đường parabol.

Cho một điểm F cố định, và một đường thẳng Δ cố định không đi qua điểm F, đường Parabol là bao gồm tập hợp các điểm N nằm trong một mặt phẳng sao cho khoảng cách NF bằng khoảng các từ N đến đường thẳng Δ đã cho. Lúc này, F được gọi là tiêu điểm của parabol, đường thẳng Δ là đường chuẩn.

Phương trình đường chính tắc của đường Parabol

3 duong conic 6 jpg

Phương trình chính tắc của đường Parabol.

Cho parabol P như hình trên, F là tiêu điểm, đường chuẩn Δ. Ta kẻ đường thẳng FH vuông góc với Δ , H là điểm nằm trên Δ , FH = p > 0.

Kẻ trục tọa độ Oxy, O là trung điểm của FH, Ox đi qua H, Oy là trục hoành.

Lúc này, ta sẽ có phương trình chính tắc của parabol là:

y2 = 2px, với p > 0. F(P/2;0) và x + (P/2) = 0.

Ví dụ minh họa:

Phương trình y2 = -5x có phải là phương trình chính tắc của parabol không?

Lời giải:

Theo định nghĩa phương trình chinh tắc của parabol. ta có:

y2 = -5x có dạng y2 = 5px với p = -1 < 0.

Vậy phương trình y2 = -5x không phải là pt chính tắc của parabol.

Các dạng bài tập về 3 đường Conic

Đối với 3 đường hypebol, elip, parabol chúng ta thường sẽ gặp hai dạng toán sau, mời các em cùng theo dõi các kiến thức mà freetuts đã tổng hợp bên dưới đây để nắm được cách giải nha:

Dạng 1: Xác định phương trình chính tắc

Đối với dạng toán này, các em cần nắm vững lý thuyết phương trình chính tắc của 3 đường conic elip, parabol, hypebol để có thể dễ dàng xác định được phương trình đã cho có phải là pt chính tắc không nhé.

Ví dụ: Phương trình y2 = -6x có phải là phương trình chính tắc của Parabol không?

Lời giải:

Theo định nghĩa pt chính tắc của parapol có dạng y2 = 2px, với p >0.

Ta có: y2 = -6x ⇔ y2 = 2.(-3)x, vậy p = -3 < 0, nên suy ra y2 = -6x không phải là phương trình chính tắc của parabol.

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc dựa vào tiêu điểm

Đối với dạng toán này, đề bài sẽ cho trước tiêu điểm của 3 đường conic, từ tọa độ của tiêu điểm, các em hãy xác định điểm a, b và sau đó dựa vào đó để viết ra được phương trình chính tắc.

Ví dụ:

Viết phương trình chinh tắc của đường Parabol (P), biết rằng (P) có tiêu điểm M(9,0).

Lời giải:

Ta có, phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px, với p >0.

Với (P) có tiêu điểm M(9,0), ta có p2 = 9 => p = 3.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 2.3.x = 6x.

Ứng dụng của 3 đường conic trong thực tế

3 duong conic 7 jpg

Chiếc cầu có hình dạng parabol.

Hiện nay, trong thực tế có rát nhiều ứng dụng của 3 đường conic tồn tại xung quanh chúng ta, hãy cùng xem một số ứng dụng nổi bật sau nha:

  • Ứng dụng đường parabol trong thiết kế đèn pha ô tô: Đèn pha ô tô thực chất là một chiếc gương cầu lõm có hình dạng parabol, bóng đèn sẽ được thiết kế đặt tại tiêu điểm của parabol. Khi ánh sáng phát ra từ bóng đèn sẽ chiếu lên bề mặt đèn pha, khi đó ánh sáng sẽ được tập trung và phản xạ thành các tia sáng song song, giúp chiếu sáng ở khoảng cách xa.

  • Ứng dụng đường hypebol trong xây dựng cầu vòm: Trong cấu trúc cầu vòm, các đường cong hyberbol được sử dụng để thiết kế nhằm tạo ra các điểm chịu lực tối ưu và đảm bảo tính ổn định của công trình.

  • Ứng dụng đường elip trong thiết kế quỹ đạo chuyển tiếp: Trong thám hiểm không gian, đường elip được sử dụng để thiết kế quỹ đạo chuyển tiếp, cho phép tàu vũ trụ di chuyển giữa các hành tinh một cách hiệu quả.

Bài tập 3 đường Conic

Sau khi đã nắm vững lý thuyết 3 đường conic rồi, bây giờ các em hãy vận dụng chúng để giải một số bài tập sau đây nha:

Bài 1: Cho hypebol (H), có tiêu điểm F(8,0) và (H) đi qua điểm A(5;0), viết pt chính tắc của (H).

Lời giải:

Ta biết, phương trình chính tắc của (H) có dạng:

x2/a2 - y2/b2 = 1, với a > 0, b > 0

Có điểm A(5;0) H, nên ta có x = 5, y = 5

52/a2 - 02/b2 = 1 ⇔ 52/a2 = 1 ⇔ 52 = a2 ⟹ a = 5.

Do (H) có tiêu điểm M(8,0) nên c = 8.

3 duong conic 8 jpg

Vậy phương trình chính tắc của (H) là:

3 duong conic 9 jpg

Bài 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
  1. y2 = -2x
  2. y2 = -12x
  3. y2 = -8x
  4. y2 = 6x.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px, với p > 0.

  • Đáp án A, có p = -1 < 0, sai.
  • Đáp án B, có p = -4 < 0, sai.
  • Đáp án C, có p = -8 < 0, sai.
  • Đáp án D, có p = 3 > 0, đúng.

Vậy đáp án D. y2 = 6x là đáp án đúng.

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã chia sẻ các lý thuyết 3 đường conic, hy vọng đây sẽ là những thông tin hữu ích đối với các em học sinh. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi nhé!

Cùng chuyên mục:

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích…

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Bảng hệ thống công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 và 12 đầy đủ…

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ…

Top