LÝ THUYẾT HÌNH HỌC
CÁC CHỦ ĐỀ
BÀI MỚI NHẤT
MỚI CẬP NHẬT

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết tọa đọa một điểm thuộc đường tròn, khi biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.

test php

banquyen png
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là một bài học vô cùng quan trọng trong chương trình toán lớp 10, tuy nhiên, hiện nay, có nhiều em học sinh chưa nắm rõ được cách viết phương trình tiếp tuyến của một đường tròn bất kỳ.

Chính vì thế, trong bài viết hôm nay, freetuts sẽ giúp các em ôn lại phần lý thuyết quan trọng này và hướng dẫn chi tiết cách viết pt tiếp tuyến của đường tròn nhé.

Lý thuyết hương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến đường tròn là gì?

phuong trinh tiep tuyen cua duong tron 1 jpg

Đường thẳng d tiếp tuyến với đường tròn (C) tại N0.

PT tiếp tuyến của đường tròn là một phương trình tuyến tính biểu diễn cho một đường thẳng bất kỳ tiếp xúc với đường tròn tại điểm nhất định thuộc đường tròn đó.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

Cho điểm N0(x0; y0) thuộc đường tròn (C) (x - a)^2 + (y - b)^2 = 0 , tâm I(a; b), gọi d là tiếp tuyến của © tại N0, lúc này, ta có:

N0 thuộc d và véc tơ IN0 = (x0 - a; y0 - b) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Vậy, công thức phương trình tiếp tuyến d là:

(x0 - a).(x - x0) + (y0 - b).(y - y0) = 0 (1)

Lúc này, ta gọi (1) là pt tiếp tuyến của đường tròn (C) (x - a)^2 + (y - b)^2 = 0 tại điểm N0(x0; y0).

Một đường tròn có thể có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến?

Đối với một đường tròn bất kỳ, chúng ta có thể lập nhiều phương trình tiếp tuyến khác nhau phụ thuộc vào điểm tiếp tuyến trên đường tròn và hướng của tiếp tuyến, chính vì vậy, số lượng pt tiếp tuyến sẽ phụ thuộc vào dữ liệu của bài toán đưa ra.

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Có rất nhiều cách để viết được pt tuyến tuyến đường tròn bất kỳ, mời các em cùng tham khảo một số trường hợp mà freetuts đã tổng hợp ngay dưới đây nha.

Khi biết tọa độ một điểm thuộc đường tròn

phuong trinh tiep tuyen cua duong tron 2 jpg

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M, thuộc đường tròn (C).

  • Dạng 1: Cho đường tròn (C) có pt: x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0, điểm M(x0, y0) thuộc (C).

Ta có, phương trình tiếp tuyến tại M(x0, y0) của (C) là:

x0x + y0y + a(x0 + x ) + b(y0 + y) + c = 0.

  • Dạng 2: Cho đường tròn (C) có pt: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, điểm M(x0, y0) thuộc (C).

Ta có, pt tiếp tuyến tại M(x0, y0) là:

(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = R^2.

Ví dụ minh họa:

Cho đường tròn (C) có phương trình x^2 + y^2 + 6x + 6y - 20 = 0, điểm M(2; 1) thuộc (C), viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C tại M.

Lời giải:

Với M(2; 1) thuộc (C), vậy phương trình tiếp tuyến của C tại M là:

2.x + 1.y + 3(2 + x) + 3(1+ y) - 20 = 0

2x + y + 6 + 3x + 3 + 3y - 20 = 0

5x + 4y -11 = 0.

Khi biết tọa độ của tâm và đi qua một điểm cho trước

phuong trinh tiep tuyen cua duong tron 3 jpg

PT tiếp tuyến d đi qua M(x0, y0).

Cho đường tròn (C) có pt: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, điểm M(x0, y0) là điểm tiếp tuyến của đường tròn, hãy lập pt tiếp tuyến (d) của (C).

  • Bước 1: Dựa vào phương trình đường tròn, suy ra tâm và bán kính.

Xét (C) có pt: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, suy ra đường tròn C có tâm I(a; b) và bán kính R.

  • Bước 2: Lập pt tiếp tuyến (d) tại M.

Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M, nên suy ra d sẽ vuông góc với IM, vậy đường thẳng d sẽ đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến là IM.

Ví dụ minh họa:

Cho đường tròn (C) : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn C tại điểm M(3; -4).

Lời giải:

Xét pt đường tròn (C) : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2, ta có tâm I(1; -2), bán kính R = căn bậc 2 của 2.

Vì d tiếp xúc với C tại M(3 ; -4), nên d sẽ vuông góc với IM, véc tơ pháp tuyến IM(2; -2)

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là (d): 2(x -3) - 2(y + 4) = 0 (d): x - y = 7.

Khi biết tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

phuong trinh tiep tuyen cua duong tron 4 jpg

Đường thẳng d’ là pt tiếp tuyến của (C) và song song với d.

Cho đường tròn (C) có pt: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, đường thẳng (d): Ax + By + C = 0. Viết phương trình tiếp tuyến () của (C) , biết () song song với (d).

  • Bước 1: Dựa vào pt đường tròn, xác định tâm I và bán kính R của đường tròn.
  • Bước 2: Viết pt tiếp tuyến.
    • Vì () song song với (d) nên (): Ax + By + c =0 (1), với c khác 0,
    • Do () tiếp xúc với đường tròn (C ), nên d(I, ()) = R (2).
    • Giải phương trình (1) và (2), ta sẽ tìm được c và suy ra được pt tiếp tuyến của đường tròn C.

Ví dụ minh họa:

Cho đường tròn (C) có pt: (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16, đường thẳng (d): 6x - 8y + 2023 =0, hãy viết pt tiếp tuyến (d’) của C, biết (d’) song song với (d).

Lời giải:

Xét (C) có pt: (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16, ta có đường tròn có tâm I(1; -3), bán kính R = 4.

Vì d’ // d, nên d’: 6x - 8y + c = 0, c khác 2023.

d’ tiếp xúc với (C ) d(I, d’) = R |30 + c|100 = 4 c = 10 hoặc c = -70.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến của đường tròn, song song với d là:

d’1 = 6x - 8y + 10 = 0 và d’2 = 6x - 8y -10 = 0.

Khi biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

phuong trinh tiep tuyen cua duong tron 5 jpg

Hình minh họa phương trình tiếp tuyến d’ vuông góc với d.

Cho đường tròn (C) có pt: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, viết phương trình tiếp tuyến d’ của C, biết d’ vuông góc với d.

  • Bước 1: Dựa vào pt đường tròn, xác định tâm I và bán kính R của đường tròn.
  • Bước 2: Do d’ vuông góc với d nên d’ có dạng: Bx - Ay + c = 0.

d’ tiếp xúc với (C) nên d(I, d’) = R, giải phương trình tìm được c.

Ví dụ minh họa:

Cho đường tròn (C): x^2 + y^2 - 4x + 8y - 5 = 0, đường thẳng (d): 3x + 4y + 2023 =0.

Viết phương trình tiếp tuyến d’ của đường tròn C biết d’ vuông góc với d.

Lời giải:

Xét pt (C): x^2 + y^2 - 4x + 8y - 5 = 0, ta có tâm I(2; -4 ), bán kính R = 5.

Vì d’ vuông góc với d, nên d’ có dạng: 4x - 3y + c = 0.

d’ tiếp xúc với C, nên d(I, d’) = R |20 + c|/25 = 5 c = 5, hoặc c = -45.

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là:

d’1: 4x - 3y + 5 = 0, và d’2 : 4x - 3y -45 = 0

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và cách giải

Sau khi đã nắm vững lý thuyết và các cách viết pt tiếp tuyến của đường tròn, các em hãy vận dụng để giải một số bài tập sau nha:

Bài 1: Cho đường tròn (C): (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 1, điểm M(-4; 1), Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Lời giải:

Với đường tròn (C): (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 1, ta có tâm I(-3; -1), bán kính R = 1.

Gọi d là tiếp tuyến của C, đi qua điểm M(-4, 1), lúc này d có dạng:

A (x + 4) + B(y - 1) = 0 (Ax + By + 4A - B = 0, với A^2 + B^2 khác 0

Vì d tiếp xúc với C, nên d (I, d) = R |A - 2B|/A2+B2=1 -4AB + 3B^2 = 0

B = 0 -4A + 3B = 0.

  • Với B = 0, chọn A = 1, ta có pt tiếp tuyến d là x + 4 = 0.
  • Với -A4 + 3B = 0, chọn A = 3, B = 4, ta có pt tiếp tuyến d là 3x + 4y + 8 = 0

Vậy có 2 pt tiếp tuyến với đường tròn C, đi qua M(-4; 1) là x + 4 = 0 và 3x + 4y + 8 = 0.

Bài 2: Cho đường tròn (C): (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9, đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0, viết pt tiếp tuyến d’ của (C), biết d’ song song với d.

Lời giải:

Vì d’ song song với d nên d’ có dạng: 2x + y + m = 0, với m khác 5.

Đường tròn (C): (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9, suy ra tâm I(4; -1), R = 9.

Đường thẳng d’ tiếp xúc với C, khi:

d(I, d’) = R |2.4 - 1 + m|.9 = 9 |7+m| =1 7+m = 1 hoặc 7 + m = -1

m = -6 hoặc m = -8.

Vậy d’ = 2x + y - 6 = 0, hoặc d’1 = 2x + y - 8 = 0.

Bài tập tự luyện viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Sau đây là một số bài tập để các em có thể tự ôn luyện lại phần kiến thức quan trọng này nha:

  • Câu 1: Viết pt tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 tại điểm M(2,1).
  • Câu 2: Viết pt tiếp tuyến của đường tròn (C): (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 5, biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng d: 3x + y + 7 = 0.
  • Câu 3: Cho đường tròn (C): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết d đi qua điểm N(4;0).

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã tổng hợp các cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong các trường hợp đặc biệt, hy vọng các em học sinh có thể áp dụng những kiến thức này một cách thuần thục để có thể đạt kết quả cao trong học tập.

Cùng chuyên mục:

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích…

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Bảng hệ thống công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 và 12 đầy đủ…

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ…

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin trong một tam giác được hiểu như sau, bình phương một cạnh…

Top