Cách tính diện tích và thể tích hình chóp đều

Bài này sẽ tổng hợp các kiến thức liên quan đến hình chóp đều như: Cách tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp đều, cách tính thể tích hình chóp đều.

Hình chóp là một loại hình học không gian khá phức tạp, không phù hợp với kiến thức phổ thông. Tuy nhiên, trong số các loại hình chóp thì có hình chóp đều có tính chất dễ chịu hơn, bởi mặt đáy là những hình dạng đặc biệt như hình vuông, hình tam giác đều ...

1. Hình chóp đều là gì?

Hình chóp đều là hình mà có đáy là các hình đa giác đều (hình vuông, hình tam giác đều…) và tâm của đáy trùng với chân đường cao của hình chóp đó thì khi đó chúng ta mới gọi hình chóp đó là hình chóp đều.

2. Tính chất của hình chóp đều

Tính chất của hình chóp tam giác đều

• Hình chóp tam giác đều là hình có ba mặt phẳng đối xứng với nhau
• Đáy của hình chóp là hình tam giác đều và có các cạnh bên bằng nhau
• Chân của đường cao trùng với trọng tâm của hình tam giác
• Mọi góc được tạo bởi các mặt bên và mặt đáy bằng nhau
• Các góc được tạo bởi mặt đáy và cạnh bên bằng nhau

Tính chất của hình chóp tứ giác đều

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

• Đáy của hình chóp là hình vuông
• Các cạnh bên của hình chóp tứ giác đều bằng nhau
• Hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác cân bằng nhau
• Chân của đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo
• Tất cả các góc được tạo nên từ cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

3. Cách vẽ hình chóp đều trong không gian

Đối với cả hình chóp tam giác đều hay hình chóp tứ giác đều thì cách vẽ của chúng cũng khá là giống nhau.

• Bước 1: Vẽ đáy của hình chóp là hình tam giác đều nếu bạn vẽ hình chóp tam giác đều; vẽ đáy là hình vuông nếu bạn vẽ hình chóp tứ giác đều
• Bước 2: Vẽ các cạnh bên của hình chóp đều sao cho chúng bằng nhau
• Bước 3: Vẽ tiếp các mặt bên của hình chóp là những hình tam giác cân bằng nhau
• Bước 4: Kéo một đoạn thẳng từ đỉnh của hình chóp đều xuống đáy sao cho chân của đường cao đó trùng với tâm mặt phẳng đáy
• Bước 5: Các góc tạo bởi cạnh bên của mặt đáy và mặt đáy đều bằng nhau

4. Cách tính diện tích hình chóp đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Muốn tính diện tích xung quanh của hình chóp đều chúng ta lấy nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn của hình chóp đều đó, hay nó chính là tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn

Công thức tổng quát:

(!! Sxq= p \times d !!)

Trong đó:

• Sxq là diện tích xung quanh
• p là nửa chu vi
• d là trung đoạn

Ví dụ: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 4cm và trung đoạn của hình chóp đều là 2cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều đó?

Bài giải:

Trước tiên ta cần tìm nửa chu vi của mặt đáy hình chóp đều. Vì đây là hình tứ giác đều (tức là hình vuông) nên ta áp dụng công thức tính chu vi hình vuông.

Nửa chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều đó là:

(!! p = (4 \times 4) \div 2= 8(cm) !!)

Diện tích xung quanh của hình chóp đó là:

(!! Sxq = 8 \times 2=16 (cm2) !!)

Đáp số: 16 cm2

Diện tích toàn phần của hình chóp đều

Muốn tính diện tích toàn phần của hình chóp đều ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy của hình chóp đó.

Công thức tổng quát:

(!! Stp= Sxq+ Sđáy !!)

Trong đó:

• Stp là diện tích toàn phần
• Sxq là diện tích xung quanh
• Sđáy là diện tích đáy

Diện tích đáy thì tùy vào mỗi hình mà ta áp dụng công thức khác nhau.

Ví dụ: Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 5cm và có chiều cao của mặt đáy là 4cm và đường trung đoạn là 2 cm. Tính diện tích toàn phần của tam giác đều đó?

Bài giải:

Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:

(!! p = (5+5+5) \div 2=7,5(cm) !!)

Diện tích xung quanh của hình chóp đều đó là:

(!! Sxq = 7,5 \times 2= 15(cm^2) !!)

Diện tích đáy của hình chóp đó là (áp dụng công thức tính diện tích hình thang):

(!! Sđáy = (4 \times 5) \div 2= 10(cm^2) !!)

Diện tích toàn phần của hình chóp đều đó là:

(!! Stp = 15+10 = 25(cm^2) !!)

Đáp số: 25 cm²

5. Cách tính thể tích của hình chóp đều

Muốn tính thể tích của hình chóp đều ta lấy diện tích đáy nhân với chiều cao rồi chia cho ba. Hay nói cách khác thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao

Công thức tổng quát:

(!! V = \frac{(S \times h)}{3} !!)

Trong đó:

• V là thể tích
• S là diện tích đáy, tùy vào mỗi hình mà có cách tính diện tích khác nhau.
• h là chiều cao

Ví dụ: Cho một hình khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy là X, cạnh bên gấp đôi cạnh đáy đã cho. Tính thể tích của hình chóp đều đó?

Bài giải:

Giả sử rằng rằng khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh bằng X, cạnh bên SD=2X. Khi đó ta có đường cao SO vuông góc với mặt đáy ABCD.

Ta có:

(!! 2 OD^2= X^2 => OD=\frac{x^2}{2} !!)

(!! SO = \sqrt{(2x)^2} - \frac{x^2}{2} = X \times \sqrt{\frac{7}{2}} !!)

Diện tích ABCD =X²

Thể tích của khối chóp sẽ bằng:

(!! \frac{x^2}{3} \times \sqrt{\frac{7}{2}} X !!)

(!! = X^3 \times \sqrt{\frac{14}{6}} !!)

Vậy thể tích của khối hình chóp đều đó là (! X^3 \times \sqrt{\frac{14}{6}} !)

Qua bài viết trên mình hi vọng sẽ giúp các bạn giải đáp được những thắc mắc liên quan đến khái niệm, tính chất, cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đều. Xin chào các bạn và hẹn gặp lại các bạn ở bài tiếp theo.