Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ (diện tích xung quanh và toàn phần)

Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Ngoài ra, bạn cũng sẽ biết thêm công thức tính thể tính hình trụ.

Hình trụ là hình được sử dụng khá nhiều trong chương trình hình học phổ thông. Chúng ta được làm quen với hình trụ từ đơn giản sau đó tăng dần mức độ khó hơn. Trong đó việc tính diện tích, thể tích hình trụ được phổ biến rộng rãi. Hôm nay chúng ta cùng nhắc lại kiến thức này nhé.

1. Hình trụ là gì?

Hình trụ là một khối nhiều hình tròn đặt chồng lên nhau. Hay nói cách khác, giới hạn của hai đường tròn có đường kính bằng nhau và mặt trụ sẽ tạo nên một hình trụ.

Khi quay hình chữ nhật quanh một trục cố định thì ta có hình trụ tròn.

Chúng ta có:

• AB là trục của hình trụ.
• CD là đường sinh của hình trụ.
• AB=CD=h chính là đường cao của hình trụ.
• Hai hình tròn tâm A và B được coi là đáy của hình trụ. Hai đáy này có bán kính bằng nhau và bán kính đó được gọi là r.
• Phần không gian được giới hạn bởi hình trụ chính là một khối trụ tròn xoay.

Trong thực tế thì có rất nhiều vật dụng có cấu tạo như hình trụ, đó là:

• Thùng phuy đựng nước.
• Ống nước kéo thẳng
• ...

Và các bài toán thường gặp đó là tính thể tích.

2. Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ chính là phần diện tích bao quanh của hình trụ đó, nó không bao gồm diện tích hai mặt đáy. Vì hình trụ có mặt đáy là hình tròn, nên ta có thể tính diện tích xung quanh bằng cách lấy chu vi hình tròn mặt đáy nhân với chiều cao.

Dựa vào khái niệm trên chúng ta có cách tính diện tích xung quanh hình trụ là bằng tích của hai lần Pi với bán kính và chiều cao của hình trụ.

Công thức tổng quát:

(!! Sxq=2 \times \pi \times r \times h !!)

Trong đó:

• Sxq là diện tích xung quanh
• r là bán kính hình trụ
• h là chiều cao của hình trụ

3. Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ

Trước khi đến với công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ, mình sẽ giới thiệu cho các bạn công thức tính diện tích hai mặt đáy của hình trụ.

Ta có thể tính diện tích hai đáy của hình trụ bằng cách lấy diện tích của một mắt đáy và nhân với 2. Vì mặt đáy là hình tròn nên ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích hình tròn:

(!! S2đáy=2 \times \pi r^2 !!)

Trong đó r là bán kính của hình tròn đáy.

Diện tích toàn phần của hình trụ chính là tổng diện tích xung quanh và diện tích cả hai mặt đáy của hình trụ đó.

Dựa vào khái niệm về diện tích toàn phần của hình trụ chúng ta có công thức sau:

(!! Stp=2 \pi r^2 + 2 \pi rh !!)

Trong đó:

• Stp là diện tích toàn phần
• (! 2 \pi r^2 !) là diện tích hai đáy của hình trụ
• (! 2 \pi rh !) là diện tích xung quanh của hình trụ

Ví dụ: Cho một hình trụ có bán kính hình tròn đáy là 5cm. Hãy tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ trên, biết chiều cao nối từ đáy đến đỉnh của hình trụ là 7cm?

Bài giải:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có:

(!! 2 \pi \times 5 \times 7=219,8 (cm^2) !!)

Áp dụng công thức chúng ta có tổng diện tích hai mặt đáy của hình trụ là:

(!! 2 \pi \times 5^2= 157 (cm^2) !!)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là:

(!! 219,8+ 157=376,8 (cm^2) !!)

4. Công thức tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ chính là một khoảng không gian nhất định mà hình trụ chiếm phải.

Chúng ta có công thức tính thể tích của hình trụ như sau:

(!! V=\pi \times r^2 \times h !!)

Trong đó:

• V là thể tích hình trụ
• r là bán kính hình trụ
• h là chiều cao hình trụ
• (! \pi = 3,14 !)

Ví dụ: Tính thể tích của một hình lăng trụ biết bán kính mặt đáy bằng 4 cm và chiều cao của hình trụ có độ dài là 6cm?

Bài giải:

Thể tích của hình trụ đó khi áp dụng công thức tính thể tích là:

(!! 3,14 \times 4^2 \times 6 = 301,44 (cm^3) !!)

Đáp số: 301,44 cm³

5. Một số bài toán mở rộng về hình trụ

Bài toán 1: Một hình trụ có diện tích toàn phần là 120 (cm²).Tính chiều cao của hình trụ đó biết bán kính đáy của hình trụ bằng 6cm?

Bài giải:

Dựa vào công thức tính diện tích toàn phần, ta có:

(!! 2 \pi \times r^2 + 2 \pi \times r \times h= 120 \pi !!)

(!! <=> 2 \pi \times 6^2 + 2 \pi \times 6 \times h= 120 \pi !!)

(!! => h=120 \pi \div (2 \pi \times 6^2 + 2 \pi \times 6) !!)

(!! => h = 4 cm !!)

Vậy chiều cao của hình trụ đó bằng 4 cm.

Bài toán 2: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng X. Thiết diện song song với trục và cách trục khối trụ một khoảng cách bằng X/2 là hình chữ nhật có diện tích bằng X23. Hãy tính thể tích của khối trụ đó?

Bài giải:

Chúng ta có tam giác BOC cân tại O và OH chính là đường cao, nên suy ra H là trung điểm của BC.

(!! => BC=2BH=2 (\sqrt{BO^2=HO^2}) !!)

(!! =2(\sqrt{X^2-\frac{x^2}{4}})= X\sqrt{3} !!)

Vì tứ giác ABCD là một hình chữ nhật, cho nên diện tích ABCD sẽ như sau:

(!! S(ABCD)= AB \times BC=AB \times X \sqrt{3}=X^2 \sqrt{3}=X !!)

Thể tích của khối hình trụ đó là:

(!! \pi \times X^2 \times X = \pi X^3 !!)

Đáp số: (! \pi X^3 !)

Trên là công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh của hình trụ. Bên cạnh đó, mình cũng có chia sẻ công thức tính thể tích hình trụ và các bài toán hình trụ thường gặp. Hy vọng các em học sinh sẽ nắm vững và có thể áp dụng để giải các bài tập trên trường.