Cách tính diện tích và thể tích hình cầu

Trong bài này bạn sẽ được học công thức tính diện tích hình cầu, cách tính thể tích hình cầu, kèm theo đó là các dạng toán thường gặp.

Trong cuộc sống, chắc hẳn các bạn đã gặp rất nhiều về hình cầu, nó là hình dạng của trái bóng, trái banh .. Hay là Trái Đất, nơi mà chúng ta đang sinh sống cũng chính là hình cầu. Vậy các bạn hiểu như thế nào về hình cầu? Làm sao để tính được diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu? Hôm nay mình và các bạn cùng tìm hiểu nhé

1. Mặt cầu là gì?

Muốn tính được diện tích của mặt cầu thì chúng ta phải hiểu được chính xác về mặt cầu.

Vậy mặt cầu là gì? Trong hình học không gian, nó chính là quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi R. O chính là tâm và R chính là bán kính của mặt cầu.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

2. Hình cầu là gì?

Khối cầu được thể hiện phần bên trong của một mặt cầu thì được gọi là hình cầu.

Đối với hình cầu các bạn cần lưu ý những vấn đề sau:

• Bề mặt của hình cầu khi bị cắt bởi một mặt phẳng là một hình tròn
• Chúng ta thu được một đường tròn khi cắt mặt cầu bán kính R

3. Cách tính diện tích mặt cầu

Muốn tính diện tích mặt cầu ta lấy 4 lần Pi nhân với bình phương bán kính.

Công thức tổng quát:

(!! S = 4 \times \pi \times r^2 !!)

Trong đó:

• S là diện tích mặt cầu
• r là bán kính mặt cầu

4. Cách tính thể tích hình cầu

Muốn tính thể tích hình cầu chúng ta áp dụng công thức sau:

(!! V=\frac{4}{3}\pi \times r^3 = \frac{1}{6}\pi \times d^3 !!)

Trong đó:

• V là thể tích hình cầu
• r là bán kính mặt cầu
• d là đường kính mặt cầu

5. Một số bài toán về mặt cầu và thể tích hình cầu

Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp về tính thể tích và diện tích mặt cầu.

Bài toán 1: Bạn hãy tính thể tích hình cầu biết diện tích bằng diện tích xung quanh hình lập phương cạnh X?

Bài giải:

Chúng ta có diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh X sẽ bằng:

(!! Sxq= 4X^2 => S mặt cầu = 4X^2 !!)

Từ đó chúng ta suy ra được bán kính mặt cầu là:

(!! 4\pi r^2 = 4X^2 !!)

(!! <=> r^2=\frac{X^2}{\pi} => r = \frac{X}{\sqrt{\pi}} !!)

Vậy thể tích khối hình cầu cần tìm là:

(!! V=\frac{4}{3}\pi r^2 = \frac{4X^3}{3 \times \sqrt{\pi}}!!)

Bài toán 2: Cho mặt cầu P ( tâm O và bán kính R) và một điểm E sao cho OE=2R. Qua E kẻ đường thẳng cắt P tại hai điểm M,N sao cho MN=R3. Tính khoảng cách từ O đến MN

Bài giải:

Gọi hình chiếu của O lên MN là X, chúng ta có:

OM=ON=RX => X là trung điểm của MN. Vậy cho nên:

(!! XN=\frac{MN}{2}=\frac{R \sqrt{3}}{2} !!)

(!! => OX=\sqrt{ON^2 = XN^2}=\frac{R}{2} !!)

Bài toán 3: Cho một hình cầu có diện tích là một hình tròn lớn là 4. Một mặt phẳng S cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là 2.Hãy tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đến mặt phẳng P bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Chúng ta gọi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là a, khi đó chúng ta có:

(!! a^2=R^2-r^2 !!)

Hình tròn lớn của hình cầu P là hình tròn được tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu đó.

Gọi R là bán kính hình cầu thì R cũng là bán kính của hình tròn lớn

Theo như giả thiết trên chúng ta có:

(!! \pi R^2=4 \pi => R=2 !!)

Và:

(!! \pi r^2=2 \pi => r=\sqrt{2} !!)

(!! => d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} !!)

Vậy khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng P bằng 2

Trên đây mình đã tổng quát cho các bạn khái niệm và các công thức liên quan đến mặt cầu, hình cầu. Mong rằng nó sẽ giúp ích thật nhiều cho các bạn.