Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích chất quan trọng cùng một số dạng bài tập cơ bản sẽ giúp cho các em hiểu rõ hơn về khái niệm này.

Tích vô hướng, tích có hướng là một trong những khái niệm cơ bản nhưng lại rât quan trọng trong bộ môn toán lớp 10. Tuy nhiên, chắc hẳn có rất nhiều học sinh cảm thấy mơ hồ và dễ bị nhầm lẫn giữa 2 khái niệm này. Chính vì vậy, trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn tập lại tất tần tật kiến thức liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng nha.

Tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian

Khái niệm tích vô hướng

Cho hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, véc tơ a có tọa độ (a₁;a₂;a₃), vecto b(b₁;b₂;b₃).

Tích vô hướng của hai véc tơ được tính bằng công thức sau:

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

a→.b→ = a1b1 + a2b2 + a3b3 = |a|.|b|cos(a→,b→)

Tính chất của tích vô hướng 2 vecto

Cho 3 vecto a,b,c bất kỳ và một số thực k cho trước, ta có:

a→.b→ = b→.a→
a→.(b→ + c→) = a→.b→ + a→.c→
(k.a→).b→ = k(a→.b→) = a→.(kb→)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 2 véc tơ

Trên hệ trục tọa độ Oxyz (0; i→;j^→), cho 2 véc tơ a^→(a₁;a₂), b^→(b₁;b₂), lúc này ta có:

Tích vô hướng a→.b→ = a1b1 + a2b2
a→ và b→ vuông góc ⇔ a1b1 + a2b2 = 0

Ứng dụng tích vô hướng trong toán học

Trong toán học, tích vô hướng hai vecto được ứng dụng để tính toán một số công thức sau:

Độ dài của vecto:

Cho a^→(a₁;a₂), độ dài của a^→ được tính như sau:

Góc giữa hai vecto bất kỳ:

Cho a^→(a₁;a₂), b^→(b₁;b₂), khác véc tơ 0, dựa vào định nghĩa, ta có:

Tính khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ:

Cho điểm A(x_a;y_a), B(x_b;y_b), lúc này, ta có khoảng cách AB được tính như sau:

Dạng bài tập liên quan đến tích vô hướng 2 vecto

Đối với tích vô hướng 2 vecto, các em sẽ thường gặp một số dạng bài tập sau.

• Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Đối với dạng bài tập này, các em cần nắm vững công thức sau để giải nhé:

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, u^→(-1;3;2), v^→(-3,-1,2), tính u^→.v^→ =?

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng 2 vecto, ta có:

u^→.v^→ = (-1).(-3) + 3(-1) + 2.2 = 3 - 3 + 4 = 4

• Dạng 2: Tính độ dài của một vecto bất kỳ

Cho vecto a^→(a₁;a₂;a₃), b^→(b₁;b₂;b₃), lúc này, ta có:

Ví dụ minh họa: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho a=(2;4;1), |a|=?

Lời giải:

Áp dụng công thức tính độ dài của một vecto, ta có:

• Dạng 3: Cho tọa độ 2 điểm, tính khoảng cách giữa hai điểm đó

Cho hai điểm A(x_A,y_A,z_A) và B(x_B,y_B,z_B), lúc này, khoảng cách giữa 2 điểm AB chính là độ dài của vec tơ AB.

Ví dụ minh họa: Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và điểm A(1;2;3), điểm M thuộc Oz, AM =5, tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Vì M ∈ Oz ⟹ M(0;0,m)

Với AM = căn 5 ⇔ (m - 3)² + 5 = 5 ⇔ m - 3 = 0 ⟹ m = 3

Vậy M(0;0;3).

• Dạng 4: Tính số đo góc giữa hai vectơ

Cho vec tơ a^→(a₁;a₂;a₃), b^→(b₁;b₂;b₃), khi đó, góc giữa 2 vecto a và b được tính dựa theo công thức như sau:

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ AB và CD.

Lời giải:

Gọi góc giữa hai vec tơ AB và CD là β.

Dựa vào đề bài, ta có AB^→ (-1;1;0), CD^→(-2;1;2)

cosβ = cos(AB^→ , CD^→)

Vậy, góc giữa hai vectơ AB và CD là 45 độ.

Tích có hướng của hai vecto trong không gian

Như vậy, các em đã hiểu khái niệm tích vô hướng rồi đúng không nào, và ngay bây giờ, hãy cùng freetuts tìm hiểu về khái niệm tích có hướng để có thể nắm được tổng quan kiến thức về tích vô hướng, tích có hướng của 2 vecto bất kỳ trong không gian nha.

Khái niệm tích có hướng

Trong toán học, tích có hướng là một phép tính nhị nguyên trên các vecto trong không gian, nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ và kết quả thu được là một vectơ.

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, có 2 vectơ a(a1,a2,a3) và b(b1,b2,b3). Kí hiệu tích có hướng của 2 vectơ a, b là , và tích có hướng của 2 vectơ Oxyz được xác định như sau:

= (a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁)

Tính chất tích có hướng 2 vecto

Ngay bên dưới đây là một số tính chất hết sức quan trọng của tích có hướng 2 vecto mà các em cần phải nhớ:

Ứng dụng tích có hướng trong toán học

Sau đây là một số ứng dụng quan trọng của tích có hướng vecto trong toán học.

Điều kiện 3 vecto đồng phẳng:

a→, b→, c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→], c→ = 0

Tính diện tích các hình học cơ bản:

• Diện tích hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD như hình, ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD bằng tích của 2 vecto AB và AD.

SABCD = |[AB→,AD→]|

• Diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC như hình, ta có:

Diện tích tam giác ABC bằng ½ tích của 2 vecto AC và AB

SABC = 1/2|[AB→,AC→]|

• Tính thể tích hình hộp

​VABCD.A'B'C'D' = |[AB→,AD→].AA'→|

• Thể tích khối tứ diện

​VABCD = 1/6|[AB→,AD→].AA'→|

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và 4 điểm A (1;0;1), B(-1,1;2), C(-1,1,0), D(2,-1,-2).

Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao tứ diện.

Lời giải:

Ta có:

V_ABCD = 1/6 |[AB^→,AC^→].AD^→| = 2/6 = 1/3

Ta có: Vecto BC = (0;0;-2), Vecto BD(3;-2;-4)

[BC^→,BD^→] = (-4;-6;0) ⟹ S_ABCD = 1/2|[BC^→,BD^→]| = căn bậc 2 của 13.

V_ABCD = 1/3.d(A;(BCD)).S_ABCD

⟹ d(A;(BCD) = 3V_ABCD/S_BCD = căn bậc 2 của 13/13.

Vậy V_ABCD = 1/3, đường cao d của tứ diện là căn bậc 2 của 13/13.

Dạng bài tập liên quan đến tích có hướng 2 vector

Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp liên quan đến tích có hướng của 2 vecto, mời các em học sinh cùng tham khảo nha.

Dạng 1: Tính tích có hướng của 2 véc tơ bất kỳ

Cho 2 véc tơ bất kỳ, có tọa độ như sau: a(a1;a2;a3), vecto b(b1;b2;b3), khi đó:

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxzy trong không gian, a(3;2;1), b(3;2;5). Tính [a,b] = ?

Lời giải:

Với a^→(3;2;1), b^→(3;2;5), ta có [a^→, b^→] = (2.5 - 2.1; 1.3 - 3.5; 3.2 - 3.2) = (8,-12,0)

Dạng 2: Tìm điều kiện để 3 véc tơ cùng nằm trên hệ trục tọa độ (đồng phẳng)

Đối với dạng toán này, các em hãy áp dụng tính chất:

a^→, b^→, c^→ đồng phẳng ⇔ [a^→, b^→], c^→ = 0

Ví dụ minh họa: Cho hệ trục tọa độ Oxyz, a(1;m;2), b(m+1;2;1), c(0;m-2;2), tìm m để 3 véc tơ a, b và c đồng phẳng.

Lời giải:

Ta có:

[a^→, b^→] = (m.1 - 2.2; 2(m + 1) - 1.1; 1.2 - (m + 1)m) = (m - 4; 2m + 1;-m² - m + 2)

[[a^→, b^→] .c^→ = (m - 4).0 + (2m + 1)(m - 2) + (-m² - m + 2).2 = 5m + 2

Để 3 véc tơ a, b và c đồng phẳng [a^→, b^→], c^→ = 0

⇔ 5m + 2 = 0 ⟹ m = 25

Dạng 3: Tính diện tích, thể tích hình học

Đối với dạng bài tập này, các em chỉ cần ghi nhớ các công thức tính diện tích và thể tích từ tích vô hướng hai vecto là có thể dễ dàng giải được rồi nè.

Ví dụ minh họa:

Trong hệ trục tọa độ Oxzy, cho tứ diện ABCD với tọa độ các đỉnh lần lượt là A(1;2;1), B(2;1;3), C(3;2;2), D(1;1;1), tính thể tích ABCD.

Lời giải:

AB^→ = (1;-1;2), AC^→ = (2;0;1) ⟹ [AB^→. AC^→] = (-1;3;2).AD^→ = (0;-1;0)[AB^→. AC^→].AD^→ = -1.0 + 3.(-1) + 2.0 = -3

V_ABCD = 1/6.|[AB^→. AC^→]AD^→| = 1/6.3 = 1/2

Như vậy, qua bài viết ở trên, freetuts.net đã chia sẻ cho các em lý thuyết về tích vô hướng, tích có hướng của hai vecto trong không gian và các tính chất quan trọng cũng như một số dạng bài tập điển hình, hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập.