LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Tập hợp, phần tử của tập hợp Cách tìm ước và bội của số nguyên (ước chung và bội chung) Số hoàn hảo là gì? Nó có phải là số hoàn thiện? Số chính phương Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn (ax + b = 0) Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = 0 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c = 0 Bảng cửu chương cộng trừ nhân chia và các mẹo ghi nhớ Cách tính giá trị tuyệt đối của một số (số thực, số hưu tỉ) Bảng đổi đơn vị đo độ dài và cách quy đổi cực chính xác 1dm bằng bao nhiêu cm 1 ha bằng bao nhiêu m2? Quy đổi ha sang km2, sào, mẫu, công đất Tiệm cận ngang Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Công thức đạo hàm Tính bằng cách thuận tiện nhất Cách tính phần trăm đơn giản áp dụng cho mọi bài toán tính tỉ lệ Số hữu tỉ là gì? Số thực là gì? Cách biểu diễn trục số thực trong toán học Danh sách 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Ghi lại kẻo quên) Cách tìm tập xác định hàm số mũ Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Kiến thức 3 đường conic (Elip, Hypebol, Parabol) và các dạng bài tập Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận Tổng hợp công thức lượng giác Tích vô hướng, tích có hướng Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập Cách Rút gọn biểu thức Đề thi Toán lớp 4 học kì 2 Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập Đề thi toán lớp 2 học kì 2 Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng Bảng nguyên tử khối hóa học chuẩn và đầy đủ nhất Tập hợp Số tự nhiên Hệ thập phân Tập hợp con Dấu hiệu chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3
CÁC CHỦ ĐỀ
BÀI MỚI NHẤT
MỚI CẬP NHẬT

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích chất quan trọng cùng một số dạng bài tập cơ bản sẽ giúp cho các em hiểu rõ hơn về khái niệm này.

test php

banquyen png
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.

Tích vô hướng, tích có hướng là một trong những khái niệm cơ bản nhưng lại rât quan trọng trong bộ môn toán lớp 10. Tuy nhiên, chắc hẳn có rất nhiều học sinh cảm thấy mơ hồ và dễ bị nhầm lẫn giữa 2 khái niệm này. Chính vì vậy, trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn tập lại tất tần tật kiến thức liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng nha.

Tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian

Khái niệm tích vô hướng

Cho hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, véc tơ a có tọa độ (a1;a2;a3), vecto b(b1;b2;b3).

Tích vô hướng của hai véc tơ được tính bằng công thức sau:

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = |a|.|b|cos(a,b)

Tính chất của tích vô hướng 2 vecto

Cho 3 vecto a,b,c bất kỳ và một số thực k cho trước, ta có:

a.b = b.a
a.(b+ c) = a.b + a.c
(k.a).b= k(a.b) = a.(kb)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 2 véc tơ

Trên hệ trục tọa độ Oxyz (0; i;j), cho 2 véc tơ a(a1;a2), b(b1;b2), lúc này ta có:

Tích vô hướng a.b = a1b1 + a2b2
avà bvuông góc ⇔ a1b1 + a2b2 = 0

Ứng dụng tích vô hướng trong toán học

Trong toán học, tích vô hướng hai vecto được ứng dụng để tính toán một số công thức sau:

Độ dài của vecto:

Cho a(a1;a2), độ dài của ađược tính như sau:

tich vo huong tich co huong 1 jpg

Góc giữa hai vecto bất kỳ:

Cho a(a1;a2), b(b1;b2), khác véc tơ 0, dựa vào định nghĩa, ta có:

tich vo huong tich co huong 2 jpg

Tính khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ:

Cho điểm A(xa;ya), B(xb;yb), lúc này, ta có khoảng cách AB được tính như sau:

tich vo huong tich co huong 3 jpg

Dạng bài tập liên quan đến tích vô hướng 2 vecto

Đối với tích vô hướng 2 vecto, các em sẽ thường gặp một số dạng bài tập sau.

  • Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Đối với dạng bài tập này, các em cần nắm vững công thức sau để giải nhé:

tich vo huong tich co huong 4 jpg

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, u(-1;3;2), v(-3,-1,2), tính u.v =?

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng 2 vecto, ta có:

u.v= (-1).(-3) + 3(-1) + 2.2 = 3 - 3 + 4 = 4

  • Dạng 2: Tính độ dài của một vecto bất kỳ

Cho vecto a(a1;a2;a3), b(b1;b2;b3), lúc này, ta có:

tich vo huong tich co huong 5 jpg

Ví dụ minh họa: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho a=(2;4;1), |a|=?

Lời giải:

Áp dụng công thức tính độ dài của một vecto, ta có:

tich vo huong tich co huong 6 jpg

  • Dạng 3: Cho tọa độ 2 điểm, tính khoảng cách giữa hai điểm đó

Cho hai điểm A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB), lúc này, khoảng cách giữa 2 điểm AB chính là độ dài của vec tơ AB.

tich vo huong tich co huong 7 jpg

Ví dụ minh họa: Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và điểm A(1;2;3), điểm M thuộc Oz, AM =5, tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Vì M ∈ Oz ⟹ M(0;0,m)

tich vo huong tich co huong 8 jpg

Với AM = căn 5 ⇔ (m - 3)2 + 5 = 5 ⇔ m - 3 = 0 ⟹ m = 3

Vậy M(0;0;3).

  • Dạng 4: Tính số đo góc giữa hai vectơ

Cho vec tơ a(a1;a2;a3), b(b1;b2;b3), khi đó, góc giữa 2 vecto a và b được tính dựa theo công thức như sau:

tich vo huong tich co huong 9 jpg

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ AB và CD.

Lời giải:

Gọi góc giữa hai vec tơ AB và CD là β.

Dựa vào đề bài, ta có AB (-1;1;0), CD(-2;1;2)

cosβ = cos(AB , CD)

tich vo huong tich co huong 10 jpg

Vậy, góc giữa hai vectơ AB và CD là 45 độ.

Tích có hướng của hai vecto trong không gian

Như vậy, các em đã hiểu khái niệm tích vô hướng rồi đúng không nào, và ngay bây giờ, hãy cùng freetuts tìm hiểu về khái niệm tích có hướng để có thể nắm được tổng quan kiến thức về tích vô hướng, tích có hướng của 2 vecto bất kỳ trong không gian nha.

Khái niệm tích có hướng

Trong toán học, tích có hướng là một phép tính nhị nguyên trên các vecto trong không gian, nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ và kết quả thu được là một vectơ.

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, có 2 vectơ a(a1,a2,a3) và b(b1,b2,b3). Kí hiệu tích có hướng của 2 vectơ a, b là \underset{a}{\rightarrow} , \underset{b}{\rightarrow} và tích có hướng của 2 vectơ Oxyz được xác định như sau:

tich vo huong tich co huong 11 jpg

= (a2b3 - a3b2; a3b1 - a1b3; a1b2 - a2b1)

Tính chất tích có hướng 2 vecto

Ngay bên dưới đây là một số tính chất hết sức quan trọng của tích có hướng 2 vecto mà các em cần phải nhớ:

tich vo huong tich co huong 12 jpg

Ứng dụng tích có hướng trong toán học

Sau đây là một số ứng dụng quan trọng của tích có hướng vecto trong toán học.

Điều kiện 3 vecto đồng phẳng:

a, b, c đồng phẳng ⇔ [a, b], c = 0

Tính diện tích các hình học cơ bản:

  • Diện tích hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD như hình, ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD bằng tích của 2 vecto AB và AD.

SABCD = |[AB,AD]|

tich vo huong tich co huong 13 jpg

  • Diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC như hình, ta có:

Diện tích tam giác ABC bằng ½ tích của 2 vecto AC và AB

SABC = 1/2|[AB,AC]|

tich vo huong tich co huong 14 jpg

  • Tính thể tích hình hộp

​VABCD.A'B'C'D' = |[AB,AD].AA'|
  • Thể tích khối tứ diện
​VABCD = 1/6|[AB,AD].AA'|

tich vo huong tich co huong 15 jpg

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, và 4 điểm A (1;0;1), B(-1,1;2), C(-1,1,0), D(2,-1,-2).

Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao tứ diện.

Lời giải:

Ta có:

VABCD = 1/6 |[AB,AC].AD| = 2/6 = 1/3

Ta có: Vecto BC = (0;0;-2), Vecto BD(3;-2;-4)

[BC,BD] = (-4;-6;0) ⟹ SABCD = 1/2|[BC,BD]| = căn bậc 2 của 13.

VABCD = 1/3.d(A;(BCD)).SABCD

⟹ d(A;(BCD) = 3VABCD/SBCD = căn bậc 2 của 13/13.

Vậy VABCD = 1/3, đường cao d của tứ diện là căn bậc 2 của 13/13.

Dạng bài tập liên quan đến tích có hướng 2 vector

Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp liên quan đến tích có hướng của 2 vecto, mời các em học sinh cùng tham khảo nha.

Dạng 1: Tính tích có hướng của 2 véc tơ bất kỳ

Cho 2 véc tơ bất kỳ, có tọa độ như sau: a(a1;a2;a3), vecto b(b1;b2;b3), khi đó:

tich vo huong tich co huong 16 jpg

Ví dụ minh họa:

Cho hệ trục tọa độ Oxzy trong không gian, a(3;2;1), b(3;2;5). Tính [a,b] = ?

Lời giải:

Với a(3;2;1), b(3;2;5), ta có [a, b] = (2.5 - 2.1; 1.3 - 3.5; 3.2 - 3.2) = (8,-12,0)

Dạng 2: Tìm điều kiện để 3 véc tơ cùng nằm trên hệ trục tọa độ (đồng phẳng)

Đối với dạng toán này, các em hãy áp dụng tính chất:

a, b, c đồng phẳng ⇔ [a, b], c = 0

Ví dụ minh họa: Cho hệ trục tọa độ Oxyz, a(1;m;2), b(m+1;2;1), c(0;m-2;2), tìm m để 3 véc tơ a, b và c đồng phẳng.

Lời giải:

Ta có:

[a, b] = (m.1 - 2.2; 2(m + 1) - 1.1; 1.2 - (m + 1)m) = (m - 4; 2m + 1;-m2 - m + 2)

[[a, b] .c= (m - 4).0 + (2m + 1)(m - 2) + (-m2 - m + 2).2 = 5m + 2

Để 3 véc tơ a, b và c đồng phẳng [a, b], c = 0

⇔ 5m + 2 = 0 ⟹ m = 25

Dạng 3: Tính diện tích, thể tích hình học

Đối với dạng bài tập này, các em chỉ cần ghi nhớ các công thức tính diện tích và thể tích từ tích vô hướng hai vecto là có thể dễ dàng giải được rồi nè.

Ví dụ minh họa:

Trong hệ trục tọa độ Oxzy, cho tứ diện ABCD với tọa độ các đỉnh lần lượt là A(1;2;1), B(2;1;3), C(3;2;2), D(1;1;1), tính thể tích ABCD.

Lời giải:

AB = (1;-1;2), AC = (2;0;1) ⟹ [AB. AC] = (-1;3;2).AD= (0;-1;0)[AB. AC].AD= -1.0 + 3.(-1) + 2.0 = -3

VABCD = 1/6.|[AB. AC]AD| = 1/6.3 = 1/2

Như vậy, qua bài viết ở trên, freetuts.net đã chia sẻ cho các em lý thuyết về tích vô hướng, tích có hướng của hai vecto trong không gian và các tính chất quan trọng cũng như một số dạng bài tập điển hình, hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập.

Cùng chuyên mục:

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Bảng hệ thống công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 và 12 đầy đủ…

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ…

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin trong một tam giác được hiểu như sau, bình phương một cạnh…

Top