Công thức đạo hàm lớp 11, 12 từ cơ bản đến cao cấp chi tiết nhất

Tổng hợp công thức đạo hàm từ đạo hàm cơ bản, đạo hàm hàm lượng giác, đạo hàm sơ cấp đến cao cấp và các dạng bài tập liên quan cùng hướng dẫn giải chi tiết.

Đạo hàm, công thức đạo hàm là những kiến thức vô cùng quan trọng và luôn xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy, các em học sinh cần phải chú ý ghi nhớ ct đạo hàm để có thể dễ dàng giải được các bài tập liên quan. Trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn lại các công thức đạo hàm quan trọng trong chương trình toán 11, 12 nha.

Ôn tập kiến thức về đạo hàm toán lớp 11, 12

Khái niệm đạo hàm trong toán học

Trước khi đi tìm hiểu về các công thức đạo hàm thì chúng ta hãy cùng ôn lại kiến thức liên quan đến đạo hàm nha.

Đạo hàm là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm x₀ bất kỳ, chiều biến thiên lên xuống của hàm số chính là giá trị của đạo hàm. Hoặc có thể hiểu theo cách đơn giản hơn là, đạo hàm là sự biến thiên lên xuống của hàm số đó tại điểm biến thiên.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

Cho hàm số y = f(x), xác định trong khoảng (a;b), x₀ ∈ (a;b), giới hạn hữu hạn của tỉ số khi x → x₀ được gọi là đạo hàm tại điểm x₀.

Ký hiệu đạo hàm f'(x) hay y'(x).

Vai trò quan trọng của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm vô cùng quan trọng trong toán học. Nhờ có đạo hàm mà ta có thể xác định được điểm cực trị, biên giới, sự thay đổi độ dốc cũng như sự thay đổi của của một đồ thị hàm số bất kỳ, từ đó làm nền tảng cho nhiều ứng dụng.

Quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Dưới đây là một số quy tắc cơ bản, quan trọng để giúp các em có thể áp dụng các ct đạo hàm một cách chính xác nhất, hãy cố gắng ghi nhớ nha.

Công thức đạo hàm đầy đủ nhất

Tuy những công thức đạo hàm không quá khó nhớ, nhưng nếu các em không áp dụng thường xuyên sẽ rất dễ bị quên đấy nhé. Hãy cùng ôn lại những công thức quan trọng ngay bên dưới đây nha.

Công thức tính đạo hàm cơ bản của hàm f(x) và f(u)

Sau đây là bảng đạo hàm đầy đủ của f(x) với x là biến số, f(u) với u là một hàm số :

Bảng công thức đạo hàm logarit, log căn bậc 3, căn x, lượng giác.

Công thức đạo hàm lớp 12 của một số phân thức hữu tỉ thường gặp:

Bảng đạo hàm phân thức hữu tỉ.

Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác đặc biệt

Sau đây là bảng đạo hàm cơ bản của các hàm số lượng giác và hàm lượng giác ngược, các em hãy ghi nhớ để có thể áp dụng ngay vào các bài toán liên quan đến đạo hàm lượng giác nha.

Bảng công thức đạo hàm lớp 11, đạo hàm hàm lượng giác.

Công thức đạo hàm sơ cấp thường gặp

Cùng ôn tập lại một số công thức đạo hàm sơ cấp ngay bên dưới đây nhé.

Bảng công thức tính đạo hàm lớp 11.

Công thức đạo hàm cấp cao, đặc biệt lưu ý

Ngoài các công thức cơ bản ở trên, chúng ta có thể áp dụng ct đạo hàm để tính các hàm số cao cấp mà freetuts đã tổng hợp dưới đây nha:

Các dạng toán áp dụng công thức đạo hàm

Sau đây là một số dạng toán thường gặp có áp dụng các công thức đạo hàm, mời các em cùng tham khảo nha:

Dạng 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của một hàm số bất kỳ

Đây là dạng toán cơ bản nhất trong đạo hàm, các em chỉ cần nắm vững kiến thức định nghĩa đạo hàm và công thức cơ bản là có thể dễ dàng hoàn thành dạng bài tập này.

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số sau đây:

Hướng dẫn giải:

Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có:

Vậy f'(2) = 24.

Dạng 2: Chứng minh các hằng đẳng thức liên quan đến đạo hàm

Đối với dạng bài tập này, thường đề bài sẽ yêu cầu các em phải chứng minh một hệ thức bất kỳ dựa vào những điều kiện có sẵn. Để giải được dạng đề bài này, các em phải tính toán, chứng minh các đẳng thức này có liên quan đến đạo hàm.

Ví dụ: Cho hàm số y = e^-xsinx, hãy chứng minh y'' + 2y' +2y = 0

Hướng dẫn giải:

Dựa vào công thức đạo hàm lượng giác, ta có:

y' = -e^-x.sinx + e^-x.cosx

y' = -e^-x.sinx + e -x.cox

y'' = e^-x.sinx - e^-x.cosx - e^-x.sinx = -2e^-x.cosx

Vậy ta có y'' + 2y' +2y = -2e^-x.cosx - -2e^-x.sinx + 2e^-x.cosx + 2e^-x.sinx = 0.

Dạng 3: Dựa vào tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến

Đối với dạng bài tập này, các em chỉ cần thay thế dữ liệu đã cho vào hàm số là sẽ tìm được đáp án chính xác nè.

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ + 3nx² + (n+1)x + 1, biết m là tham số thực, hãy tìm các giá trị của n để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 sẽ đi qua điểm B(1;2).

Hướng dẫn giải:

Có: TXD: D = R

y' = f'(x) = 3x2 + 6nx + n +1

Với x₀ = -1 ⇒ y₀ = 2n - 1, f'(-1) = -5n + 4

Lúc này, ta có phương trình tiếp tuyến lại M(-1; 2n -1) : y = (-5n + 4) (x + 1) + 2n - 1 (d)

Với B(1;2) ∈ (d) ⇔ (-5n + 4).2 + 2n - 1 = 2.

Vậy ⇒ n = 5/8, thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho sẽ đi qua điểm B(1;2).

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi biết hệ số góc cho trước

Dạng bài tập này thường sẽ là kiểu hãy viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) : y = f(x), biết Δ có hệ số góc là k.

Phương pháp giải:

Bước 1: gọi M(x₀;y₀) là tiếp điểm, hãy tính y', sau đó suy ra y'(0).

Bước 2: Lúc này, ta được phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k, suy ra:y' = (x₀) = k(i), x₀ ⇒ y₀ = f(x₀) ⇒ Δ : y = k(x-x₀) +y₀.

Ví dụ :

Cho đồ thị hàm số sau, biết hệ số góc k = -9, hãy tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số này.

Xét hàm số y sẽ xác định với mọi x thuộc R, ta có:

Với k = -9, ta có y'(x0) = -9

Vậy, suy ra x0 = -3, y0 = 16.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d) y = -9(x +3) + 16 = -9x -11.

Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình có đạo hàm

Đây là một dạng toán khá là phức tạp, tuy nhiên, các em chỉ cần để ý và kết hợp nhiều công thức đạo hàm, nguyên hàm ở trên để có thể giải các bài toán đã cho thôi nè.

Ví dụ:

Cho y = cos2x + sinx, giải phương trình y'=0

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

y' = -sinx.cosx + cosx = -sin2x + cosx.

y'=0 ⇔ -sin2x + cosx = 0 ⇔ sin2x = cosx = sin(π/2−x)

Tương đương:

• 2x = π/2 - x + 2kπ ⇔ x = x = π/6 + (2kπ)/3; k thuộc Z.
• 2x = π - π/2 + x + 2kπ ⇔ x = π/2 + 2kπ; k thuộc Z.

Vậy, ta có nghiệm của pt là x = π/6 + (2kπ)/3; x = π/2 + 2kπ, k thuộc Z.

Dạng 6: Tính đạo hàm của các hàm số bất kỳ

Đối với các bài tập tính đạo hàm của các hàm số bất kỳ, điều quan trọng nhất là các em cần ghi nhớ, hiểu rõ các công thức đạo hàm từ cơ bản tới nâng cao để áp dụng giải toán. Nếu hàm số quá phúc tạp, các em hãy làm thêm một bước rút gọn hàm số trước khi đạo hàm chúng nha.

Ví dụ: Hãy tính đạo hàm của hàm số sau:

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số cơ bản ta có:

Tương đương

Dạng 7: Tính đạo hàm cao cấp

Đối với dạng toán này, đa số các em sẽ phải tìm đạo hàm của hàm số cấp 2 trở lên, các em hãy làm theo hướng dẫn sau nha:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1,2,3,... từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp n.

Bước 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức dự đoán ở trên là đúng.

Ví dụ:

Cho hàm số y = sin2x, tính đạo hàm cấp n của y.

Lời giải:

Có y' = 2 sin(2x + π/2),

y'' = 4sin(2x + 2(π/2)),

y''' = 8sin(2x+3(π/2)),

Dựa vào phương pháp quy nạp, ta chứng minh

Với n = 1, y' = 2 sin(2x + π/2) đúng.

Giả sử:

suy ra ta có:

Vậy điều phải chứng minh là đúng.

Lưu ý khi giải bài toán đạo hàm lớp 11, 12

Để có thể hoàn thành tốt các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm, các em cần lưu ý một số điều sau nha:

• Nắm chắc, hiểu rõ các công thức và định nghĩa của đạo hàm, vì chỉ khi nắm vững lý thuyết, các em mới có thể phân tích đề bài, kết hợp các tính chất, công thức để giải bài tập một cách hiệu quả.
• Hãy làm quen với các dạng bài tập cơ bản thật nhuần nhuyễn rồi sau đó hãy thử sức với các bài tập nâng cao hơn nha.
• Đặc biệt phải luôn lưu ý về các điều kiện mà đề bài đã cho trước.
• Tự rút ra kinh nghiệm từ những lỗi sai thường mắc phải để cải thiện trong những lần sau nha.

Mẹo ghi nhớ công thức đạo hàm hiệu quả

Ngay bên dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ cho các em một số tips giúp ghi nhớ hiệu quả nhất nè:

• Thực hành thường xuyên: Làm bài tập liên quan đến đạo hàm thường xuyên sẽ giúp củng cố kiến thức và ghi nhớ công thức. Làm bài tập cũng giúp phát triển kỹ năng tính đạo hàm, giúp sử dụng công thức thành thạo hơn.
• Liên hệ ct đạo hàm với các đạo hàm đơn giản: So sánh ct đạo hàm của một hàm số với đạo hàm của các hàm số đơn giản hơn, như đạo hàm của hàm số bậc nhất hay hàm số bậc hai. Điều này giúp củng cố hiểu biết và ghi nhớ công thức.

Bài tập liên quan đến công thức đạo hàm

Dưới đây là một số bài toán liên quan đến các công thức đạo hàm đã nêu ở trên, mời các em cùng tham khảo và thử sức mình nha:

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x + 1)/(x + 2)

Lời giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của một thương, (u/v)' = (u'v-uv')/v^2, ta có:

Bài 2: Cho hàm số sau, hãy tính f'(8)

Lời giải:

Ta sẽ đưa hàm số về x^n và áp dụng công thức (x^n)' = n.x^(n-1).

Ta được:

Thay x = 8, ta có f'(8) = 1/12.

Bài 3: Cho hàm số y = cos4x - 3sin4x, tính y' = ?

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: (cos.u(x))' = -u'(x).sin.u(x); (sin.u(x))' = u'(x)cos.u(x).

Ta có: y' = (cos.4x - 3sin.4x)' = - 4sin4x - 12cos4x.

Bài 4: Cho hàm số f(x) = sin3x, tính f'(x).

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản, ta có: (sin.ax)' = a.cos.ax

Vậy f'(x) = (sin3x)' = 3 cos.3x

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã chia sẻ tất tần tật kiến thức liên quan đến các công thức đạo hàm quan trọng và một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng sẽ giúp các em nắm vững được kiến thức quan trọng này để có thể áp dụng trong việc học tập. Chúc các em học tốt, và đạt kết quả cao nhé!