LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Tập hợp, phần tử của tập hợp Cách tìm ước và bội của số nguyên (ước chung và bội chung) Số hoàn hảo là gì? Nó có phải là số hoàn thiện? Số chính phương Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn (ax + b = 0) Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = 0 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c = 0 Bảng cửu chương cộng trừ nhân chia và các mẹo ghi nhớ Cách tính giá trị tuyệt đối của một số (số thực, số hưu tỉ) Bảng đổi đơn vị đo độ dài và cách quy đổi cực chính xác 1dm bằng bao nhiêu cm 1 ha bằng bao nhiêu m2? Quy đổi ha sang km2, sào, mẫu, công đất Tiệm cận ngang Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Công thức đạo hàm Tính bằng cách thuận tiện nhất Cách tính phần trăm đơn giản áp dụng cho mọi bài toán tính tỉ lệ Số hữu tỉ là gì? Số thực là gì? Cách biểu diễn trục số thực trong toán học Danh sách 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Ghi lại kẻo quên) Cách tìm tập xác định hàm số mũ Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Kiến thức 3 đường conic (Elip, Hypebol, Parabol) và các dạng bài tập Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận Tổng hợp công thức lượng giác Tích vô hướng, tích có hướng Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập Cách Rút gọn biểu thức Đề thi Toán lớp 4 học kì 2 Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập Đề thi toán lớp 2 học kì 2 Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng Bảng nguyên tử khối hóa học chuẩn và đầy đủ nhất Tập hợp Số tự nhiên Hệ thập phân Tập hợp con Dấu hiệu chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3
CÁC CHỦ ĐỀ
BÀI MỚI NHẤT
MỚI CẬP NHẬT

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Bất đẳng thức Cosi hay còn gọi là bất đẳng thức AM - GM là BĐT được dùng để so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của các số thực không âm.

test php

banquyen png
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.

Bất đẳng thức Cosi là một kiến thức toán học vô cùng quan trọng trong chương trình THCS, đây là tiền đề giúp các em học sinh lớp 8 và 9 giải các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình hiệu quả nhất. Chính vì vậy, trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn tập lại các kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Cauchy và các dạng bài tập liên quan nha.

Tìm hiểu về bất đẳng thức Cosi

Định nghĩa bất đẳng thức Cosi

Trong toán học, bất đẳng thức Cô si là bất đẳng thức được dùng để so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của các số thực không âm.

Ai là người phát minh ra bất đẳng thức Cosi?

Tên đúng của bất đẳng thức này là hay có tên khác là bất đẳng thức AM - GM, trong đó: AM là viết tắt của Arithmetic mean, GM là viết tắt của Geometric mean. Và BĐT này có rất nhiều cách chứng minh nhưng nhà toán học người Pháp là Augustin – Louis Cauchy (Cosi, theo cách đọc tiếng Việt) đã đưa ra cách chứng minh quy nạp dễ hiểu nhất nên nhiều người đã nhầm lẫn rằng BĐT AM - GM là do ông phát minh ra.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

Bất đẳng thức Cô si được dùng để làm gì?

Bất đẳng thức Cauchy là một trong những kiến thức vô cùng quan trọng và phổ biến trong chương trình toán THCS, nó được sử dụng để giải các dạng toán liên quan đến phương trình, bất phương trình và tìm giá trị lớn nhất hay bé nhất của biểu thức.

Các dạng bất đẳng thức Cosi trong toán học

Bất đẳng thức AM - GM (Cosi) có thể được phát biểu dưới các dạng sau:

Dạng 1: Dạng tổng quát bđt Cosi

Trung bình cộng của n số thực không âm sẽ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của các số thực này, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi n số thực này bằng nhau.

  • Với 2 số thực a, b không âm, ta có:

bat dang thuc cosi 1 jpg

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

  • Với 3 số thực a, b và c không âm, ta có:

bat dang thuc cosi 2 jpg

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

  • Bất đẳng thức Cosi mở rộng với x1, x2,...xn, n là số thực không âm, ta có:

bat dang thuc cosi 4 jpg

bat dang thuc cosi 3 jpg

bat dang thuc cosi 5 jpg

Dấu “=” xảy ra khi x1 = x2 =...xn.

Với x1, x2,...xn, n là số thực dương, ta có:

bat dang thuc cosi 6 jpg

bat dang thuc cosi 7 jpg

Dấu “=” xảy ra khi x1 = x2 =...xn.

Dạng 2: Các trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy

Trong trường hợp n = 2 và n = 3, ta có một số dạng biểu diễn đặc biệt như sau:

bat dang thuc cosi 8 jpg

Dạng 3: Một số bất đẳng thức được suy ra từ bđt Cauchy

Từ bất đẳng thức Cô si, chúng ta có thể suy ra một số bất đẳng thức khác như sau:

bat dang thuc cosi 9 jpg

Hệ quả bất đẳng thức Cosi lớp 9

Từ bất đẳng thức Cauchy, chúng ta có một số hệ quả sau:

  • Hệ quả 1: Cho một số thực dương, ta luôn có tổng của nó và số nghịch đảo của chính nó luôn đạt giá trị nhỏ nhất là 2.

a + 1/a ≥ 2, ∀ a > 0

  • Hệ quả 2: Cho hai số thực dương bất kỳ (a, b), nếu tổng (a+b) không đổi thì tích của (a.b) có giá trị lớn nhất khi a = b.
  • Hệ quả 3: Cho hai số thực dương bất kỳ, nếu tích của nó không đổi thì tổng của 2 số này có giá trị nhỏ nhất khi 2 số này bằng nhau.

Cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy

Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy, các em hãy cùng tham khảo một số các phương pháp chứng minh bất đẳng thức này ngay bên dưới đây nha:

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương

Cho a, b ∈ R; chứng minh rằng:

bat dang thuc cosi 10 jpg

⇔ a + b ≥ 2 căn bậc 2 của (a x b)

⇔ a - 2 căn bậc 2 của (a x b) + b ≥ 0

⇔ (căn a - căn b)^2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b ≥ 0)

Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT cauchy luôn đúng với 2 số thực dương.

Chứng minh bất đẳng thức cosi cho 3 số thực không âm

Với a, b, c là số thực dương, hãy chứng minh BĐT sau:

bat dang thuc cosi 11 jpg

Ta có:

Đặt x = căn bậc 3 của a, y = căn bậc 3 của b, z = căn bậc 3 của c, nên ta có x, y, z ≥ 0,

⇒ x + y + z ≥ 0.

Lúc này, bất đẳng thức quy về dạng

bat dang thuc cosi 13 jpg

bat dang thuc cosi 12 jpg

Vậy ta có điều cần chứng minh, và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, hay tương đương a = b = c.

Chứng minh BĐT Cosi với n số thực không âm

Với x1, x2,...xn, n là số thực không âm, hãy chứng minh BĐT sau là đúng.

bat dang thuc cosi 14 jpg

Ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực dương, suy ra n = 2 thì BDT Cosi trên luôn đúng.

Để chứng minh BĐT trên đúng với n số thì chúng ta có thể chứng minh nó cũng đúng với 2n số.

bat dang thuc cosi 15 jpg

Áp dụng tính chất quy nạp, ta có bất đẳng thức trên sẽ luôn đúng với n là một lũy thừa của 2.

Gỉa sử BĐT Cosi luôn đúng với n số, ta cũng sẽ chứng minh được nó luôn đúng với n - 1 số như sau:

bat dang thuc cosi 16 jpg

Gọi xn = S/(n - 1), với S = x1 + x2 +...+ xn

Suy ra:

bat dang thuc cosi 17 jpg

Như vậy, ta có, BĐT Cosi luôn đúng với 2n và (n - 1) số, vậy, ta có thể suy ra bất đẳng thức Cauchy sẽ đúng với n số thực không âm.

Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức AM - GM (Cosi)

Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, các bạn cần lưu ý một số điều sau:

  • Bất đẳng thức Co si chỉ đúng với các số thực không âm.
  • Chỉ nên áp dụng bất đẳng thức Cô si khi BĐT cần chứng minh có tổng và tích.
  • Luôn nhớ, dấu “=” chỉ xảy ra khi các số bằng nhau.

Dạng bài tập về bất đẳng thức Cosi

Như vậy, các em đã nắm được các kiến thức liên quan đến BĐT Cosi rồi đúng không nào, bây giờ hãy áp dụng chúng để đi giải một số dạng bài tập mà freetuts đã liệt kê ngay bên dưới đây nha:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp BĐT Côsi trong bài tập chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn a^2 + b^2 = 2, hãy chứng minh:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4

Lời giải:

Vì a, b > 0 nên suy ra a/b > 0, b/a > 0, a/b^2 > 0, b/a^2 >0.

Áp dụng bdt Cosi, ta có:

a/b + b/a ≥2 căn bậc hai (a/b x b/a) = 2

a/b^2 + b/a^2 ≥2 căn bậc hai (a/b^2 + b/a^2 ) = 2/(căn bậc 2(a x b)

Suy ra:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4/(căn bậc 2 của a x b) (1)

Mà ta có:

2 = a^2 + b^2 ≥ 2 x (căn bậc 2 của a^2 x b^2) = 2.a.b

⇒ a.b ≤ 1 (2)

Kết hợp (1) và (2), ta có:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4 (điều phải chứng minh),

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.

Dạng 2: Kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Côsi

Đối với dạng toán này, các em hãy biến đổi BĐT cần phải chứng mình bằng cách nhân, chia hoặc thêm bớt một số, để có thể đơn giản được BĐT ban đầu.

Lưu ý: Khi tách và áp dụng BDT cosi, phải dựa vào việc đảm bảo cho dấu “=” xảy ra.

Ví dụ: Cho a, b là số thực dương, sao cho a > b, chứng minh rằng:

a + 1/(b.(a - b) ≥ 3.

Lời giải:

Coi 1/(b.(a - b), b, (a - b) là 3 số dương, ap dụng bất đẳng thức Co si cho 3 số dương ta có:

bat dang thuc cosi 18 jpg

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi:

a - b = b = 1/(b.(a - b) ⇔ a = 2; b = 1.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của biểu thức

Ví dụ: Bài tập tìm GTLN, GTNN bằng bất đẳng thức Cosi lớp 9

Cho hai số dương a, b. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức trong trường hợp sau:

a. a + b = 8, tìm GTLN của A = (a + b ).a.b

b. a.b = 6 không đổi, tìm GTNN của biểu thức B = (a + b)/ (a^2.b^2)

Lời giải:

Vì a + b = 8 nên ta có A = (a + b ).a.b = 8ab.

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức cô si, ta có:

A đạt GTLN khi và chỉ khi (a x b) max ⇔ a = b (1)

Ta có: a + b = 8, a = b ⇒ a = b = 4.

Vậy A max = 6.4.4 = 96.

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 96 khi a = b = 4.

b. Ta có B = (a + b)/ (a^2.b^2) = (a + b)/9^2 = (a + b)/81 vì a.b = 9 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả BĐT cosi, ta có:

B min ⇔ (a + b) min ⇔ a = b.

Lúc này ta có: a = b; a.b = 9 ⇒ a = b = 3.

Vậy B min = (3 + 3)/81 = 2/27

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2/27 khi a = 3 = 3.

Dạng 4: Ứng dụng BDT Cosi ngược dấu để chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ minh họa bài tập về bất đẳng thức Cosi lớp 9

Cho 3 số thực a, b , c không âm, lớn hơn 0 và a + b + c = 3, chứng minh rằng:

bat dang thuc cosi 19 jpg

Lời giải:

Vì a + b + c = 3; a, b, c >0, nên ta thấy điểm rơi của bpt tại a = b = c = 1.

Áp dụng bđt Cosi cho mẫu số, ta có:

a^2 + 1 ≥ 2a ⇔ 1/(1+a^2) ≤ 1/2a

Ta thấy, lúc này dấu của bdt sẽ ngược chiều so với yêu cầu của đề bài.

Lúc này, áp dụng Cosi ngược dấu, ta có:

bat dang thuc cosi 20 jpg

bat dang thuc cosi 21 jpg

Cộng vế theo vế, ta có:

bat dang thuc cosi 22 jpg

Vậy ta đã có điều phải chứng minh.

Hỏi đáp về BDT Cosi

Bất đẳng thức Cosi học ở lớp mấy?

Các em sẽ được học kiến thức về BĐT Cosi trong chương trình toán lớp 9 nha.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có phải là tên gọi khác của BĐT Cosi không?

Các em đừng nhầm lẫn giữa điều này nha, hai BĐT này hoàn toàn khác nhau đó, BĐT Cauchy-Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki là BĐT do 3 nhà toán học Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz phát minh ra.

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã chia sẻ các kiến thức liên quan về bất đẳng thức Cosi, các công thức, cách chứng minh và một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng bài viết nãy sẽ giúp các em ôn luyện và nắm vững được kiến thức quan trọng này. Chào tạm biệt và hẹn gặp lại các em trong các bài đăng tiếp theo để cùng nhau tìm hiểu thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác nha!

Cùng chuyên mục:

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích…

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Bảng hệ thống công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 và 12 đầy đủ…

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ…

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin trong một tam giác được hiểu như sau, bình phương một cạnh…

Top