Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ ct logarit cơ bản, ct log hàm số mũ, đến ct log nâng cao và một số dạng bài tập liên quan.

Công thức logarit là một trong những kiến thức quan trọng trong phần đại số lớp 12, nó thường có mặt trong các đề thi như cuối cấp, THPT Quốc gia. Chính vì thế, các em cần ghi nhớ các công thức hàm logarit để có thể hoàn thành tốt các bài thi của mình. Trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn tập lại các bảng công thức log từ cơ bản đến nâng cao nha.

Tìm hiểu về Logarit và phương trình logarit

Khái niệm Logarit trong toán học

Logarit (Log) của một số là số mũ của cơ số nâng lên lũy thừa để tạo thành một số khác, hoặc bạn có thể hiểu đơn giản hơn, log là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại n lần.

Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, ta có:

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

logab = N ⇔ B= aN, lúc này, logab chính là logarit cơ số a của b.

Trong toán học, có 3 loại logarit cơ bản bao gồm:

• Logarit thập phân: là log có cơ số là 10, viết tắt là log₁₀b = logb = lgb.
• Logarit tự nhiên: Là log có cơ số là hằng số 3, công thức logarit tự nhiên được viết dưới dạng ln(b) = log_e(b)
• Logarit nhị phân: Là log có cơ số là 2, được biểu diễn là log₂b

Khái niệm phương trình logarit

Cho cơ số a > 0, khác 1, thì phương trình log_ax = b được gọi là phương trình log cơ bản, phương trình này có 1 nghiệm duy nhất là x = a^b.

Công thức logarit đầy đủ

Ngay bên dưới đây là tổng hợp những ct logarit từ cơ bản đến nâng cao, mời các em cùng tham khảo nha.

Công thức logarit cơ bản

Trong bảng sau là những công thức hàm log vô cùng cơ bản mà nhất định các em phải ghi nhớ để có thể vận dụng vào để giải cacsc bài tập liên quan nha.

Công thức logarit hàm số mũ

Đối với log của một hàm số mũ bất kỳ, các em cũng có những công thức quan trọng sau:

Bảng Các công thức hàm số mũ logarit.

Công thức đạo hàm logarit

Các em đang gặp khó khăn với việc tính đạo hàm của một hàm số logarit thì đừng lo nhé, vì trong bảng dưới đây, freetuts đã tổng hợp những công thức liên quan rồi nè.

Công thức logarit nâng cao

Ngay bên dưới đây là một số công thức, tính chất cao cấp quan trọng của hàm số logarit, các em hãy ghi nhớ để vận dụng vào giải các bài tập nha.

Các dạng bài tập liên quan đến công thức logarit

Như vậy, các em đã nắm được các công thức quan trọng liên quan đến logarit rồi đúng không nào. Bây giờ, hãy sử dụng chúng để giải một số dạng bài tập sau đây nha.

Dạng 1: Giải phương trình logarit cơ bản bằng cách mũ hóa

Đây là dạng cơ bản nhất trong việc giải phương trình chưa log, vì bản chất của giải pt log chính là mũ hóa 2 vế với cơ số a.

Cho phương trình log_af(x) = log_bg(x), với a > 0, a ≠ 1

Đặt log_af(x) = log_bg(x) = t ⟹ f(x) = a^t hoặc g(x) = b^t.

Ví dụ:

Giải phương trình sau: log₂(2x + 6) = 2x + 1

Lời giải:

Ta có: log₂(2x + 6) = 2x + 1

⇔ 2^{log₂2^(x+6)} = 2^2x+1

⇔ 2^x + 6 = 2.2^x ⇔ 2.2^x - 2 - 6 = 0

⇔ 2^x = -3, 2^x = 2

⟹ x = 1

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa Logarit

Cách đầu tiên các em nên nghĩ đến khi gặp một bài toán giải phương trình log đó chính là đưa các số về cùng một cơ số, kết hợp đặt điều kiện xác định cho phương trình và tiến hành rút gọn các biểu thức log có cùng cơ số.. Thường sẽ có 2 trường hợp xảy ra như sau:

• Trường hợp 1: Nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc thì hãy tính toán theo thứ tự: Lũy thừa nhân, chia cộng, trừ.

• Trường hợp 2: Nếu biểu thức có chứa dấu ngoặc thì thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

Hãy ghi nhớ công thức mũ logarit: log_af(x) = b ⟹ f(x) = a^b , log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x) để áp dụng trong bài giải nhé.

Ví dụ: Cho hàm số P = 3^{log₉4+ log₃5}, hãy rút gọn hàm số P đã cho.

Lời giải:

Ta có:

log₉4 + log₃5 = 1/2log₃4 + log₃5 = log₃2 + log₃5 = log₃(2 x 5) = log₃10

⇔ 3^{log₉4+ log₃5} = 3^log₃10 = 10.

Dạng 3: Tìm tập nghiệm của phương trình log bằng cách đặt ẩn phụ

Đối với dạng bài tập này, các em có thể đặt ẩn phụ cho phương trình để có thể làm gọn phép tính, giúp quá trình tính toán được diễn ra dễ dàng hơn nè. Một lưu ý quan trọng là khi đặt ẩn phụ, các em cần lưu ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện.

Cho phương trình P[log_af(x)] = 0, đặt log_af(x) = t, (x ∈ R).

Ví dụ: Giải phương trình log₂²x + 3log₂x - 4 = 0.

Lời giải:

Đặt log₂x = t, ta có log₂²x + 3log₂x - 4= 0 ⇔ t² + 3t - 4 = 0 ⇔ t = -4; t = 1

Với t = 1, ta có log₂x = 1 ⟹ x=2.

Với t = -4, ta có log₂x = -4⟹ x= 1/16

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 2 và x = 1/16.

Dạng 4: So sánh các biểu thức chứa log

Khi gặp dạng bài tập này, các em hãy thực hiện theo các bước sau nhé:

Bước 1: Hãy áp dụng các tính chất, công thức cơ bản của log để rút gọn các biểu thức đã cho.

Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đã rút gọn.

Ví dụ: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào lớn hơn 1:

A. 3^log₃4 B. 3^2log₃2 C. (1/4)^log₂5 D. Không có số nào.

Lời giải:

Ta có:

3^log₃4 > 1.

3^2log₃2 = 3^2log₃2 = 4 > 1

(1/4)^log₂5 = 2^-2log₂5 = 2^log₂4 = 5 ^-2 = 1/25 < 1

Vậy có biểu thức A,B > 1.

Dạng 5: Chứng minh các công thức logarit

Đối với dạng toán này, các em nên sử dụng các công thức biển đổi hàm log để có thể giải thành công nhé.

Các công thức biến đổi cơ bản:

logab = (logcb)/(logca)

logab x logbc = logac

loga(b/c) = logab - logac

Ví dụ: Hãy chứng minh công thức sau là đúng:

a^log_bc = c^logba

Lời giải:

Bài tập liên quan đến bảng công thức Logarit

Bây giờ, các em hãy cùng áp dụng những kiến thức ở trên để giải một số bài tập dưới đây nha.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình log₄(x - 1) = 3

Lời giải:

Ta có điều kiện (x - 1) > 0 ⇔ x > 1

log₄(x - 1) = 3x - 1 = 43 ⟹ x = 65

Bài 2: Tính giá trị biểu thức B = 2log₂12 + 3log₂5 - log₂15 - log₂150

Lời giải:

Ta có 2log₂12 + 3log₂5 - log₂15 - log₂150 = 2log₂(2³.3) + 3log₂5 - log₂3.5 - log₂(2.3.5²)

= 2(2 + log₂3) + 3log₂5 - (log₂3 + log₂5) - (1 + log₂3 + 2log₂5) = 3.

Bài 3: Cho log₂6 = a, tính log₃18 theo a.

Lời giải:

Ta có: a = log₂6 = log₂(2.3) = 1 + log₂3 ⟹ log₂3 = 1/(a - 1)

⟹ log₃18 = log₃(2.3²) = log₃2 + 2 = 1/(a-1) + 2 = (2a-1)/(a-1)

Lưu ý quan trọng khi học bảng công thức Logarit

Để có thể nắm vững và vận dụng tốt bảng công thức log vào trong toán học, các em cần lưu ý một số điều sau nha:

• Tránh nhầm lẫn giữa logarit và hàm mũ.
• Phân biệt rõ các thành phần đối số, cơ số của hàm log.
• Thường xuyên luyện tập, làm đi làm lại các dạng bài liên quan đến công thức log để có thể hiểu rõ cách áp dụng cũng như giúp các em nhớ lâu hơn nè.

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã chia sẻ tất tần tật kiến thức liên quan đến công thức logarit và một số dạng bài tập cơ bản. Hy vọng bài viết sẽ đem lại nhiều thông tin hữu ích cho các em học sinh lớp 12, chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao nhé.

v