Số hữu tỉ là gì? Các phép toán trên số hữu tỉ thường gặp

Trong bài này sẽ tổng hợp tất cả kiến thức liên quan đến số hữu tỉ như: Khái niệm số hữu tỉ là gì, so sánh hai số hữu tỉ, các phép toán cộng - trừ - nhân - chia hai số hữu tỉ ...

Các em đã được biết đến khái niệm số tự nhiên, số nguyên, .. nhưng các em có biết rằng ta có thể thực hiện các phép toán giữa các loại số này một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ giúp cho các em hiểu rõ mọi vấn đề về số hữu tỉ.

1. Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là tất cả số X được viết dưới dạng phân số (! \frac{a}{b} !), với (! a, b \in Z, b \ne 0 !).

Kí hiệu của số hữu tỉ là Q.

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

Ví dụ:

• (! \frac{2}{3} !) là một số hữu tỉ
• 0,6 cũng là một số hữu tỉ vì nó có thể viết dưới dạng phân số (! \frac{6}{10} !)
• 5 cũng chính là một số hữu tỉ vì nó viết được dưới dạng phân số là (! \frac{5}{1} !)

2. So sánh 2 số hữu tỉ

• Đối với hai số hữu tỉ X,Y bất kì chúng ta luôn có X = Y, X < Y hoặc X > Y
• Trên trục số x ở bên trái trục Y nếu X<Y, và ngược lại nếu X>Y thì trên trục số X sẽ nằm ở bên phải của Y
• Khi số hữu tỉ lớn hơn 0 thì đó được gọi là số hữu tỉ dương
• Số hữu tỉ âm khi số hữu tỉ đó nhỏ hơn 0
• 0 chính là số hữu tỉ không âm cũng không dương

Ví dụ:

So sánh hai số hữu tỉ sau: (! -0,6 và \frac{1}{-2} !)

Ta có: -0,6 được viết dưới dạng số hữu tỉ sẽ là (! \frac{-6}{10} !).

(! \frac{1}{-2}= \frac{-5}{10}!)

So sánh (!! \frac{-5}{10} !!) và (! \frac{-6}{10} !), chúng ta có (! -6 < -5 !) nên (! \frac{-6}{10} < \frac{-5}{10} !)

Vậy (! -0,6 < \frac{1}{-2} !)

3. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Đối với việc thực hiện các phép tính cộng trừ số hữu tỉ, chúng ta có thể viết nó dưới dạng phân số có cùng mẫu (mẫu số luôn luôn dương), rồi sau đó thực hiện áp dụng quy tắc cộng trừ phân số.

Với (! x=\frac{a}{m} và y=\frac{b}{m} (a,b,m \in Z, m>0) !), ta có:

(!! x+y=\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m} !!)

(!! x-y=\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m} !!)

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

(!! \frac{-2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{-4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{(-4)+3}{10} = -110 !!)

(!! 7 - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} - \frac{2}{3} = \frac{21 - 2}{3} = 193 !!)

Tính chất phép cộng số hữu tỉ

Đối với phép cộng số hữu tỉ thì có những tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: a + b= b + a
• Tính chất kết hợp : a + b + c= a + ( b+ c)
• Cộng với 0 : a+ 0= a

Ví dụ:

(! \frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} + \frac{5}{8}= \frac{11}{8} !)

Quy tắc chuyển vế

Đối với số hữu tỉ chúng ta có quy tắc chuyển vế sau: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

Với mọi (! x, y, z \in Q ; x + y = z \Rightarrow x = z - y !)

Ví dụ: Tìm x, biết: (! \frac{1}{2} + x = \frac{3}{4} !)

(! x = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} !)

(! x = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} !)

(! x = \frac{1}{4} !)

4. Nhân chia số hữu tỉ

Phép nhân hai số hữu tỉ

Với (! x = \frac{a}{b} ; y = \frac{c}{d} !) ta có:

(! x \times y = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} !)

Ví dụ: (! \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{3 \times 4}{5 \times 7} = \frac{12}{35} !)

Tính chất phép nhân

Đối với phép nhân số hữu tỉ chúng ta có tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: (! a \times b=b \times a !)
• Tính chất kết hợp: (! (a \times b) \times c=a \times (b \times c) !)
• Nhân với 1: (! a \times 1 = a !)
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (! a \times (b+c)=a \times b+a \times c !)
• Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo

5. Phép chia số hữu tỉ

Với (! x = \frac{a}{b} ; y = \frac{c}{d} !) ta có:

(! x \div y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} !)

Quy tắc: Ta có thể nhân chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Ví dụ: Thực hiện quy tắc chia hai số hữu tỉ, thực hiện phép chia sau:

(! \frac{4}{5} \div \frac{6}{7} = \frac{4}{5} \times \frac{7}{6} = \frac{4 \times 7}{5 \times 6} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}!)

6. Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu là (! |x| !) là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số:

• |x| = x khi (! x \ge 0 !)
• |-x| khi x = 0

Ví dụ:

• Nếu x = 4,5 thì |4,5| = 4,5
• Nếu x= -7 thì |x| = |-7| = 7

Nhận xét: Với mọi (! x \in Q !) ta luôn có: (! |x| \ge 0, |x|=|-x| !) và (! |x| \ge x !)

7. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

Đối với việc cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, chúng ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân và áp dụng các quy tắc về phép tính phân số để thực hiện.

Ví dụ:

1. (! 0,5+0,7= \frac{5}{10} + \frac{7}{10} = \frac{5 + 7}{10} = \frac{12}{10} !)

2. (! 0,9-0,6 = \frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{9 - 6}{10} = \frac{3}{10}!)

3. (! 1,25 \div 0,5 = \frac{125}{100} \div \frac{5}{10} = \frac{125}{100} \times \frac{10}{5} = \frac{125 \times 10}{100 \times 5} = \frac{1250}{500} !)

Lưu ý: Khi chia số thập phân x cho số thập phân y, ta áp dụng quy tắc sau: Thương của hai số thập phân x và y là thương của trị tuyệt đối x và trị tuyệt đối y với dấu “+” đằng trước nếu x, y cùng dấu. Dấu “-” đằng trước nếu x,y khác dấu.

8. Lũy thừa của một số hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Đối với số hữu tỉ x chúng ta có định nghĩa sau: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (với n là một số tự nhiên lớn hơn 1).

(! x^n = x.x.x....x (x \in Q, n \in N),n>1 !)

Quy ước: (! x^1= x; x^0 =1 !) (x khác 0)

Khi viết số hữu tỉ dưới dạng (! \frac{a}{b} !) ta có:

(! (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} !)

Ví dụ: Tính (! (\frac{-2}{3})^2 ; (\frac{-6}{7})^3 ; (-0,6)^2 !)

(! (\frac{-2}{3})^2 = (\frac{-2^2}{3^2}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} !)

(! (\frac{-6}{7})^3 = (\frac{-6^3}{7^3}) = \frac{-216}{343} !)

(! (-0,6)^2 = (\frac{-3}{5})^2 = (\frac{-3^2}{5^2}) = \frac{9}{25} !)

Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Đối với số hữu tỉ, khi ta nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số mà cộng hai số mũ.

Ta có công thức sau:

(! x^m \times x^n = x^{n+m} !)

Đối với phép chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia.

Ta có công thức sau:

(! x^m \div x^n = x^{m-n} !)

Ví dụ: Tính:

1. (! (-3)^2 \times (-3)^3 = (-3)^{2+3} = (-3)^5 = -243 !)

2. (! (-0,25)^5 \div (-0,25)^3 = (-0,25)^{5-3} = (-0,25)^2 = \frac{1}{16} !)

Lũy thừa của lũy thừa

Đối với cách tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ với nhau.

Công thức:

(! (x^m)^n = x^{m \times n} !)

Ví dụ: Tính (! (2^2)^3 = 2^{2+3} = 2^6 = 64 !)

Lũy thừa của một tích

Lũy thừa của một tích chính là bằng tích các lũy thừa. Dựa vào đó chúng ta có công thức:

(! (x + y)^n = x^n \times y^n !)

Ví dụ: Tính ..

(! (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100 !)

(! (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})^3 = (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{3}{4})^3 = \frac{1}{8} \times \frac{27}{64} = \frac{27}{512} !)

Lũy thừa của một thương

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa, chúng ta rút ra được công thức sau:

(! (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} !)

Ví dụ: Tính ...

(! (\frac{72}{24})^2 = \frac{72^2}{24^2} = 3^2 = 9 !)

(! (\frac{10}{2})^5 = \frac{10^5}{2^5} = 5^5 = 3125 !)

Bài viết trên đấy là tổng hợp tất cả các kiến thức cơ bản về số hữu tỉ mà các bạn cần biết. Hi vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các bạn học tốt hơn. Chúng ta sẽ cùng gặp nhau ở bài viết tiếp theo nhé.