LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ
Tập hợp, phần tử của tập hợp Cách tìm ước và bội của số nguyên (ước chung và bội chung) Số hoàn hảo là gì? Nó có phải là số hoàn thiện? Số chính phương Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn (ax + b = 0) Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = 0 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn ax^2 + bx + c = 0 Bảng cửu chương cộng trừ nhân chia và các mẹo ghi nhớ Cách tính giá trị tuyệt đối của một số (số thực, số hưu tỉ) Bảng đổi đơn vị đo độ dài và cách quy đổi cực chính xác 1dm bằng bao nhiêu cm 1 ha bằng bao nhiêu m2? Quy đổi ha sang km2, sào, mẫu, công đất Tiệm cận ngang Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Công thức đạo hàm Tính bằng cách thuận tiện nhất Cách tính phần trăm đơn giản áp dụng cho mọi bài toán tính tỉ lệ Số hữu tỉ là gì? Số thực là gì? Cách biểu diễn trục số thực trong toán học Danh sách 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (Ghi lại kẻo quên) Cách tìm tập xác định hàm số mũ Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình Kiến thức 3 đường conic (Elip, Hypebol, Parabol) và các dạng bài tập Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận Tổng hợp công thức lượng giác Tích vô hướng, tích có hướng Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập Cách Rút gọn biểu thức Đề thi Toán lớp 4 học kì 2 Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập Đề thi toán lớp 2 học kì 2 Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng Bảng nguyên tử khối hóa học chuẩn và đầy đủ nhất Tập hợp Số tự nhiên Hệ thập phân Tập hợp con Dấu hiệu chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 3
CÁC CHỦ ĐỀ
BÀI MỚI NHẤT
MỚI CẬP NHẬT

Định lý cosin, các hệ quả quan trọng và bài tập áp dụng

Định lý cosin trong một tam giác được hiểu như sau, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi 2 lần tích 2 cạnh với cosin góc xen giữa.

test php

banquyen png
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.

Trong toán học, định lý cosin là một trong những kiến thức vô cùng quan trọng, là nền móng cơ bản để cho các em ứng dụng vào những bài toán trong suốt quãng thời gian học. Tuy nhiên, hiện có rất nhiều bạn còn mơ hồ về định lý cos, vì vậy, trong bài viết hôm nay, hãy cùng freetuts ôn tập lại những kiến thức liên quan tới định lý cosin và những hệ quả quan trọng của định lý này nhé.

Lý thuyết định lý cosin

Trong lượng giác, định lý cosin (định lý cos) là khái niệm biểu diễn cho sự liên quan giữa chiều dài các cạnh của một tam giác với cosin của góc tương ứng với nó và được phát biểu định lý sin bằng lời như sau:

Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi 2 lần tích của 2 cạnh này với cosin của góc xen giữa chúng.

Cho tam giác ABC như hình, có độ dành 3 cạnh lần lượt là: AB = c, BC = a, AC = b.dinh ly cosin 1 jpg

Theo định lý cos, ta có:

Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosα

b2 = a2 + c2 - 2ac.cosβ

c2 = a2 + b2 - 2ab.cosγ

Như vậy, nếu trong một tam giác, biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa, chúng ta có thể tính độ dài của cạnh còn lại.

Hệ quả định lý cosin và ứng dụng trong lượng giác

Trong lượng giác, định lý cos có ứng dụng vô cùng quan trọng, vì nhờ có định lý này mà bạn có thể giải được một tam giác hoặc đường tròn bất kỳ như sau:

Tính cạnh còn lại của tam giác

Dựa vào định lý cos, khi biết độ dài hai cạnh (a,b) và góc xen giữa chúng , ta có thể dễ dàng tìm được độ dành cạnh còn lại nhờ công thức sau:

dinh ly cosin 2 jpg

Nếu bạn biết độ dài 2 cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh đó, hãy áp dụng công thức sau để tính độ dài cạnh còn lại nha.

dinh ly cosin 3 jpg

Áp dụng định lý cosin tính góc 3 góc của tam giác

Khi biết độ dài 3 cạnh a, b, c của một tam giác bất kỳ, chúng ta có thể tính số đo 3 góc lần của tam giác này với công thức sau:

dinh ly cosin 4 jpg

Tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC, trong đó ha,hb,hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ 3 đỉnh A, B, C. Độ dài 3 cạnh tương ứng là a, b, c.

Lúc này, ta sẽ có các công thức tính diện tích tam giác như sau:

S = 1/2.BC.ha = 1/2AC.hb = ½ AB.hc

S = 1/2ab.sinC = 1/2ac.sinB = 1/2bc.sinA

S = (abc)/(4R)

Trong đó:

  • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

S = pr

Trong đó:

  • r là bán kính đường tròn nội tiếp

  • p = (a + b + c)/2

Cách chứng minh định lý cosin lớp 9 là đúng

Cho tam giác ABC, lần lượt có độ dài 3 cạnh là a, b, c, góc là góc đối diện cạnh c và để chứng minh định lý hàm cosin là đúng, các bạn có thể áp dụng các phương pháp mà freetuts đã liệt kê dưới đây để chứng minh:

Xét tam giác ABC, có tọa độ 3 đỉnh lần lượt là A(bcosγ, bsinγ), B(a,0), C(0,0).

Sử dụng công thức tính khoảng cách để chứng minh

dinh ly cosin 5 jpg

Ta được:

dinh ly cosin 6 jpg

Vậy định lý cos là đúng.

Sử dụng công thức lượng giác để chứng minh

dinh ly cosin 7 jpg

Vẽ đường cao tương ứng với cạnh c như hình trên, lúc này ta có:

c = a.cosβ + b.cosβ.

Nhân hai vế với c, ta được:

c2 = ac.cosβ + bc.cosβ

b2 = bc.cosα + ab.cosα

a2 = ac.cosγ + ab.cosγ

Lấy a2 + b2 = ac.cosβ + bc.cosα + 2ab.cosγ

a2 + b2 - c2 = ac.cosβ + bc.cosα + 2ab.cosγ - ac.cosβ + bc.cosβ

a2 + b2 - c2 = 2ab.cosγ

c2 = a2 + b2 - 2ab.cosγ

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý cosin là đúng.

Sử dụng định lý Pytago để chứng minh

Trong trường hợp tam giác tù, ta có thể chứng minh định lý cos đúng bằng cách áp dụng Định lý Pytago như sau:

dinh ly cosin 8 jpg

Kẻ đường thẳng BH vuông góc với cạnh AC, lúc này BH cũng chính là đường cao của tam giác tù ABC.

Gọi chiều dài cạnh CH = d, BH = h, xét tam giác vuông ABH, ta có:

c2 = (b + d)2 + h2 = b2 + 2bd + (d2 + h2)

Xét tam giác vuông CHB, ta có:

d2 + h2 = a2, thế vào biểu thức trên, ta có:

c2 = a2 + b2 + 2bd (1)

Theo mệnh đề 12 của Euclid, ta có:

d = a.cos( π - γ) = -a.cosγ, thế vào (1), ta có:

c2 = a2 + b2 + 2bd ⇔ c2 = a2 + b2 - 2ab.cosγ, vậy định lý cos là đúng.

Bài tập về định lý cosin

Sau khi đã nắm vững lý thuyết về định lý hàm số cosin, bây giờ các em hãy vận dụng những kiến thức trên để giải một số bài tập sau đây nhé:

Bài 1: Cho tam giác ABC như hình, biết độ dài 3 cạnh lần lượt là a = 3 mm, b = 5mm, c = 6mm, hãy tính số đo 3 góc A, B và C.

dinh ly cosin 9 jpg

Lời giải:

Áp dụng hệ quả định lý cos, ta có:

γ = arccos((a2 + b2 - c2)/(2ab)) = arccos(42 + 52 - 62)/(2.4.5) = arccos(5/40) ≈ 82 độ.

β = arccos((a2 + c2 - b2)/(2ac)) = arccos(42 + 62 - 52)/(2.4.6) = arccos(27/48) ≈ 55 độ.

Xét tam giác ABC, có: α + β + γ = 180 độ α = 180 - γ - β = 180 - 82 - 55 = 43 độ.

Vậy tam giác ABC, có số đo góc A = 43 độ, góc B = 55 độ, góc C = 82 độ.

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết góc B = 60 độ, BC = 8cm, AB = 5 cm. Tính độ dài cạnh AC và góc A, C.

Lời giải:

Đặt độ dài BC = a, AC = b, AB = c, áp dụng định lý cosin, ta có:

AC2 = b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB = 82 + 52 - 2.8.5.cos60 = 49

AC = căn bậc 2 của 49 = 7.

Áp dụng hệ quả định lý cos, ta có:

Góc A = arccos((b2 + a2 - c2)/(2ab)) = arccos(72 + 52 - 82)/(2.7.5) = arccos(1/7) ≈ 81 độ.

Góc C = 180 - góc A - góc B = 180 - 81 - 49 = 38 độ.

Như vậy, qua bài viết trên, freetuts.net đã chia sẻ các kiến thức liên quan đến định lý cosin và hệ quả quan trọng của nó, hy vọng qua bài viết này, các em có thể củng cố lại được kiến thức của mình để có thể hoàn thành tốt các bài kiểm tra sắp tới nhé. Chào tạm biệt và hẹn gặp lại các em trong các bài viết tiếp theo để khám phá thêm nhiều môn học thú vị khác nha.

Cùng chuyên mục:

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Lăng trụ tam giác đều, định nghĩa, tính chất và bài tập

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Cách tính điểm xét học bạ 2024 nhanh và chính xác nhất

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ và bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

Cách tính delta, delta phẩy và một số bài tập áp dụng

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

20+ Đề thi toán lớp 2 học kì 2 cơ bản và nâng cao kèm đáp án

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a và bài tập

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

3 Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập áp dụng

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Bất đẳng thức Cosi: Công thức, hệ quả và các bài tập

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Tổng hợp đề thi Toán lớp 4 học kì 2 cơ bản và nâng cao 2024

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung tuyến, định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đầy đủ các dạng

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Góc giữa hai đường thẳng, cách tính chuẩn và bài tập áp dụng

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Rút gọn biểu thức lớp 8 - 9, tổng hợp đầy đủ và bài tập

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Công thức tính khoảng cách đầy đủ và bài tập áp dụng

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Số phức là gì? Tính chất, cách tính và tổng hợp bài tập

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Công thức tính diện tích hình phẳng và bài tập vận dụng

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Tính chất tích vô hướng, tích có hướng và bài tập liên quan

Khái niệm tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ và những tích…

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Tổng hợp công thức lượng giác 9, 10, 11, 12 đầy đủ và chuẩn nhất

Bảng hệ thống công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 và 12 đầy đủ…

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Công thức logarit lớp 12 cơ bản - nâng cao kèm bài tập

Tổng hợp các công thức logarit quan trọng trong chương trình đại số 12, từ…

Top